[논문 리뷰] The BV Algebra on Hochschild Cohomology Induced by Infinity Inner Products

Thomas Tradler|ArXiv.org|2002. 10. 10.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 11인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 단위 원소를 갖는 결합 법칙을 만족하는 대수와 $A_\infty$-대수에 대해 대칭적이고, 불변적이며 비퇴화된 내적을 지닌 경우, Hochschild 코homology 위에 Batalin-Vilkovisky (BV) 대수 구조를 구성한다. 이는 체인에서 Connes의 $B$-연산자에 대한 쌍대성을 통해 차수 $-1$인 연산자 $Δ$를 정의하고, $Δ$가 BV 관계를 만족함을 증명함으로써, Gerstenhaber 괄호와 컵 곱과 호환되는 Hochschild 코homology 위의 BV 대수 구조를 부여한다.

ABSTRACT

We define a BV-structure on the Hochschild-cohomology of a unital, associative algebra A with a symmetric, invariant and non-degenerate inner product. The induced Gerstenhaber algebra is the one described in Gerstenhaber's original paper on Hochschild-cohomology. We also prove the corresponding theorem in the homotopy case, namely we define the BV-structure on the Hochschild-cohomology of a unital A-infinity-algebra with a symmetric and non-degenerate infinity-inner product.

연구 동기 및 목표

• 단위 원소를 갖는 결합 법칙을 만족하는 대수에 대해 대칭적이고, 불변적이며 비퇴화된 내적을 지닌 경우, Hochschild 코호모로지 위에 Batalin-Vilkovisky (BV) 대수 구조를 정의한다.
• 무한 내적의 개념을 사용하여 이 구조를 $A_\infty$-대수로 일반화함으로써, 호모토피 결합 법칙 설정으로의 BV 구조를 확장한다.
• 유도된 $Δ$-연산자가 BV 관계를 만족함을 입증함으로써, $Δ^2 = 0$ 이고, Gerstenhaber 괄호가 $Δ$가 도함수에서 벗어나는 정도로 나타남을 보장한다.
• 이 BV 구조와 스트링 토폴로지 사이의 관계를 명확히 하여, Poincaré 이중성 공간에 대해 Hochschild 코호모로지와 루프 공간 호모로지 사이의 동형사상 하에서의 호환성을 추측한다.

제안 방법

• 대칭적이고 비퇴화된 내적을 사용하여 체인에서의 Connes $B$-연산자에 대한 쌍대성을 통해 Hochschild 코체인 위에 $Δ$-연산자를 정의한다.
• 내적을 통해 Connes $B$-연산자를 체인에서 코체인으로 이전시키며, $Δ$가 체인 사상임을 보장하고, 코호모로지에서 $Δ^2 = 0$임을 확보한다.
• 무한 내적을 $A$와 그 쌍대 $A^*$ 사이의 $A_\infty$-이중모듈러스 사상으로 구성함으로써, 고전적 내적의 호모토피 대수로의 일반화를 수행한다.
• Gerstenhaber 괄호가 코호모로지에서 $[\alpha,\beta] = \Delta(\alpha \smile \beta) - \Delta(\alpha) \smile \beta - (-1)^n \alpha \smile \Delta(\beta)$ 를 만족함을 보여 BV 관계를 증명한다.
• 특히 Chas와 Sullivan의 루프 공간 호모로지에서의 BV 구조 증명 기법을 Hochschild 코체인 수준에 적용한다.
• Stasheff의 텐서 코알제브라와 코도르미네이션의 형식을 사용하여 $A_\infty$-대수와 그 이중모듈러스의 Hochschild 코체인을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 원소를 갖는 결합 법칙을 만족하는 대수에 대해 대칭적이고, 불변적이며 비퇴화된 내적을 지닌 경우, Hochschild 코호모로지 위에 자연스럽게 BV 대수 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ2 무한 내적의 개념을 사용하여 고전적 BV 구조를 $A_\infty$-대수로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 체인에서 Connes의 $B$-연산자에 대한 쌍대성으로 정의된 $Δ$-연산자가 코호모로지에서 Gerstenhaber 괄호와 컵 곱과 호환되는가?
• RQ4 Poincaré 이중성 공간에 대해 $H^\bullet(C^\bullet(X), C^\bullet(X)) \cong H_\bullet(LX)$ 의 동형사상 하에서, 이 논문에서 구성된 BV 구조가 루프 공간 호모로지의 스트링 토폴로지 BV 대수와 일치하는가?

주요 결과

• 정의된 $Δ$-연산자 $Δ f(a_1,\dots,a_{n-1}), a_n \rangle = \sum_{i=1}^n (-1)^{i(n-1)} \langle f(a_i,\dots,a_n,a_1,\dots,a_{i-1}), 1 \rangle$ 는 체인 사상이며, Hochschild 코호모로지에서 $Δ^2 = 0$ 을 만족한다.
• 유도된 연산은 코호모로지에서 BV 관계를 만족한다: $[\alpha,\beta] = \Delta(\alpha \smile \beta) - \Delta(\alpha) \smile \beta - (-1)^n \alpha \smile \Delta(\beta)$ 이므로, $H^\bullet(A,A)$ 는 BV 대수이다.
• 대칭적이고 비퇴화된 $∞$-내적을 지닌 $A_\infty$-대수로의 일반화가 가능하여, $H^\bullet(A,A)$ 에서 BV 구조를 얻는다.
• $Δ$-연산자는 내적을 통해 전달된 Connes $B$-연산자의 쌍대이며, 체인 수준과 코체인 수준의 BV 구조 사이에 자연스러운 연결 고리를 확립한다.
• 논문은 이 BV 구조가 Poincaré 이중성 공간 $X$ 에 대해 $C^\bullet(X)$ 의 Hochschild 코호모로지에서 유도된 것으로, $H_\bullet(LX)$ 의 스트링 토폴로지 BV 대수와 일치할 것이라고 추측한다.