[논문 리뷰] The $C\ell(8)$ algebra of three fermion generations with spin and full internal symmetries

Adam B. Gillard, Niels G. Gresnigt|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 20.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 23인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 클리포드 대수 $\mathrm{Cl}(8)$가 스핀, 편극성, 약한 이so스핀, 전자색 대칭을 포함한 표준모형 페르미온의 세 개의 세대를 자연스럽게 표현한다고 제안한다. $\mathrm{Cl}(6)$의 한 세대를 위한 프레임워크를 $\mathrm{Cl}(8)$로 확장함으로써, $\mathrm{Cl}(8)$의 삼중성 자동형사상이 정확히 세 개의 세대를 생성하는 기하학적 메커니즘을 제공하며, 왼쪽 수반 작용은 로렌츠 및 약한 대칭을, 오른쪽 수반 작용은 전자색 게이지 대칭을 표현한다.

ABSTRACT

In this paper, the basis states of the minimal left ideals of the complex Clifford algebra $C\ell(8)$ are shown to contain three generations of Standard Model fermion states, with full Lorentzian, right and left chiral, weak isospin, spin, and electrocolor degrees of freedom. The left adjoint action algebra of $C\ell(8)\cong\mathbb{C}(16)$ on its minimal left ideals contains the Dirac algebra, weak isopin and spin transformations. The right adjoint action algebra on the other hand encodes the electrocolor symmetries. These results extend earlier work in the literature that shows that the eight minimal left ideals of $\mathbb{C}(8)\cong C\ell(6)$ contain the quark and lepton states of one generation of fixed spin. Including spin degrees of freedom extends $C\ell(6)$ to $C\ell(8)$, which unlike $C\ell(6)$ admits a triality automorphism. It is this triality that underlies the extension from a single generation of fermions to exactly three generations.

연구 동기 및 목표

• 고정된 스핀을 가진 페르미온 한 세대를 표현하는 $\mathrm{Cl}(6)$ 프레임워크를 스핀 자유도를 포함하도록 확장한다.
• $\mathrm{Cl}(6)$와 달리 $\mathrm{Cl}(8)$가 삼중성 자동형사상을 갖는다는 것을 보여주어 정확히 세 개의 세대를 자연스럽게 유도함을 입증한다.
• $\mathrm{Cl}(8)$의 왼쪽 및 오른쪽 수반 작용을 물리적 대칭으로 해석한다: 왼쪽 작용은 로렌츠 및 약한 이so스핀 대칭을, 오른쪽 작용은 전자색 게이지 대칭을 표현한다.
• $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathrm{Cl}(7) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$에 물리적 페르미온 상태가 존재하며, 각 $\mathbb{C}(8)$ 블록이 고정된 스핀 상태의 한 세대에 해당함을 보여준다.
• $U(3)_{\mathrm{ec}}$ 전자색 대칭이 물리적 스피너를 유지하는 $U(4)$ MTIS 대칭군의 최대 부분군으로서 유도됨을 확립한다.

제안 방법

• $\mathrm{Cl}(8) \cong \mathbb{C}(16)$의 동형을 사용하여 16개의 최소 왼쪽 이상을 $\mathbb{C}(16)$ 내의 16차원 열벡터로 표현한다.
• 내부 대칭과 상태 변환에 해당하는 이상 내의 행 순열(왼쪽 곱)과 이상 간의 열 순열(오른쪽 곱)을 구분한다.
• $\mathrm{Cl}(8)_L \cong \mathbb{C}(16)$인 왼쪽 수반 작용 대수를 디랙 대수, 약한 이소스핀, 스핀-$z$ 대칭을 담고 있는 것으로 식별하며, $C\ell(4)_{\mathrm{Dirac}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{isospin}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{spin}}$의 구조로 표현한다.
• 오른쪽 수반 작용 대수를 MTIS 대칭군 $U(4)$로 식별하며, 물리적 스피너를 유지하는 부분군으로서 $U(3)_{\mathrm{ec}}$를 식별한다.
• $\mathrm{Cl}(8)$의 삼중성 자동형사상을 사용하여 16개의 최소 왼쪽 이상을 세 개의 서로 다른 세대로 매핑하며, 각 세대가 $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$ 내의 세 개의 $\mathrm{Cl}(7)$-유사 스피너 블록 중 하나에 해당함을 보여준다.
• $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$로 제한하여 물리적 스피너를 얻으며, 각 $\mathbb{C}(8)$ 블록이 고정된 스핀 상태의 한 세대를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $\mathrm{Cl}(8)$ 대수가 스핀과 내부 대칭을 모두 갖춘 세 개의 페르미온 세대를 표현할 수 있는가?
• RQ2 $\mathrm{Cl}(8)$의 삼중성은 단일 대수적 구조에서 정확히 세 개의 세대를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $\mathrm{Cl}(8)$의 왼쪽 및 오른쪽 수반 작용은 표준모형의 로렌츠, 약한 이소스핀, 전자색 대칭과 어떻게 대응하는가?
• RQ4 $\mathrm{Cl}(6}$에서 $\mathrm{Cl}(8)$로 확장함으로써 스핀 자유도를 포함하고 삼중성이 나타나는 이유는 무엇인가?
• RQ5 $\mathrm{Cl}(8)$ 프레임워크 내에서 물리적 페르미온 상태와 비물리적 핀스피너 상태는 어떻게 구별되는가?

주요 결과

• $\mathrm{Cl}(8) \cong \mathbb{C}(16)$의 16개의 최소 왼쪽 이상은 $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$ 내의 세 개의 $\mathrm{Cl}(7)$-유사 블록 각각에 해당하는 세 개의 세대로 분할된다.
• $\mathrm{Cl}(8)$의 왼쪽 수반 작용은 디랙 대수, 약한 이소스핀, 스핀-$z$ 대칭을 실현하며, $C\ell(4)_{\mathrm{Dirac}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{isospin}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{spin}}$의 구조가 각 $\mathbb{C}(8)$ 블록 위에서 기약적으로 작용한다.
• 오른쪽 수반 작용 대수는 MTIS 대칭군 $U(4)$이며, 그 $U(3)_{\mathrm{ec}}$ 부분군은 각 $\mathbb{C}(8)$ 블록 위에서 기약적으로 작용하여 색 전하를 유지하며 전자색 게이지 대칭에 해당한다.
• $\mathrm{Cl}(6)$에는 존재하지 않는 $\mathrm{Cl}(8)$의 삼중성 자동형사상이 정확히 세 개의 페르미온 세대를 자연스럽게 유도하는 기하학적 메커니즘을 제공한다.
• $C\ell(2)_{\mathrm{spin}}$ 내의 단계 스핀 연산자는 물리적 스피너를 비물리적 핀스피너로 매핑하며, 오직 $\mathrm{Cl}(7)_{\mathrm{Dirac+isospin+spin-z}}$ 부분대수만이 물리적 상태를 유지함을 확인한다.
• 전체 192개 상태(세대당 64개 × 3개)는 16개의 최소 왼쪽 이상에 포함되어 있으며, 스핀 업 및 스핀 다운 상태는 각 이상 열의 첫 번째 및 두 번째 8행을 점유한다.