[논문 리뷰] The Calder\'on-Zygmund inequality and Sobolev spaces on noncompact Riemannian manifolds

Batu Güneysu, Stefano Pigola|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 03.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비콤파クト 리만 다양체 위에서 캘러존-지그문트 부등식을 도입하고 체계적으로 연구하며, Lp 공간에서 부등식이 성립하기 위한 충분한 기하 조건—예를 들어 유계 리치 곡률과 양의 임의성 반경—을 규명한다. 주요 기여는 이러한 조건 하에서 두 번째 순서 소볼레프 공간이 잘 행동함을 증명한 것으로, 밀도성, 정규성 및 기울기 추정에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

We introduce the concept of Calder\'on-Zygmund inequalities on Riemannian manifolds. For $1<p<\infty$, these are inequalities of the form $$ \left\Vert \mathrm{Hess}\left( u ight) ight\Vert _{L^p}\leq C_{1}\left\Vert u ight\Vert _{L^p}+C_{2}\left\Vert \Delta u ight\Vert _{L^p}, $$ valid a priori for all smooth functions $u$ with compact support, and constants $C_1\geq 0$, $C_2>0$. Such an inequality can hold or fail, depending on the underlying Riemannian geometry. After establishing some generally valid facts and consequences of the Calder\'on-Zygmund inequality (like new denseness results for second order $\mathsf{L}^p$-Sobolev spaces and gradient estimates), we establish sufficient geometric criteria for the validity of these inequalities on possibly noncompact Riemannian manifolds. These results in particular apply to many noncompact hypersurfaces of constant mean curvature.

연구 동기 및 목표

• 비콤파クト 리만 다성체 위에서 두 번째 순서 Lp-소볼레프 공간 이론의 통합 도구로 캘러존-지그문트 부등식을 정의하고 분석하는 것.
• H2,p(M)에서 매끄럽고 컴acts지지 함수의 밀도성 및 포아송 방정식 해의 정규성에 관한 미해결 문제를 해결하는 것.
• 부등식의 타당성을 보장하는 충분한 기하 기준—예를 들어 유계 리치 곡률과 양의 임의성 반경—을 설정하는 것.
• 부등식이 기울기 추정 및 리플리히-콘드라코프 유형의 추론에서 핵심 분석 도구를 유도함을 증명하는 것.
• 부등식이 컴팩트 변형이나 기하학적 공액에 대해 안정됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 모든 u ∈ C∞c(M)에 대해 ∥Hess(u)∥Lp ≤ C1∥u∥Lp + C2∥Δu∥Lp 형태의 캘러존-지그문트 부등식을 도입하며, C1 ≥ 0, C2 > 0이다.
• 두 번째 순서 컷오프 함수(헤세 행렬 및 라플라스 연산자)를 사용하여 소볼레프 공간의 밀도성과 정규성에 대한 함의를 도출한다.
• Lp 보간 기법을 적용하여 CZ(p)가 기울기 추정 ∥grad(f)∥Lp ≤ C(∥Δf∥Lp + ∥f∥Lp)를 유도함을 증명한다.
• 경계가 매끄러운 상대적으로 컴팩트 도메인에서 CZ(p)의 국소적 타당성을 Lp 보간을 통한 접합을 이용해 C1 = 0 조건 하에 확립한다.
• 타원적 추정과 조화 반경의 경계(제1.2정리에 사용) 및 공변 리프스 변환의 깊은 유계성 결과(제1.3정리에 사용)를 조합하여 전역 결과를 증명한다.
• 조화 좌표계와 메트릭 텐서의 Ck,α 추정을 사용하여 곡률과 임의성 반경을 제어하고, 조화 반경에 대한 하한을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤파クト 리만 다성체에서 어떤 기하 조건이 1 < p < ∞ 에 대해 Lp 공간에서 캘러존-지그문트 부등식이 성립하게 하는가?
• RQ2 캘러존-지그문트 부등식의 상수는 곡률과 임의성 반경에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 캘러존-지그문트 부등식은 C∞c(M)가 H2,p(M)에서의 밀도성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 캘러존-지그문트 부등식을 사용하여 소볼레프 공간에서 기울기 추정과 컴팩턴스 성질을 도출할 수 있는가?
• RQ5 캘러존-지그문트 부등식은 컴팩트 변형이나 다성체의 접합에 대해 안정적인가?

주요 결과

• 곡률 텐서가 유계인 지오데식적으로 완비된 다성체에서는, 양의 임의성 반경이 없더라도 모든 1 < p < ∞ 에 대해 H2,p0(M) = H2,p(M) 가 성립한다.
• M가 유계 리치 곡률과 양의 임의성 반경을 갖는다면, CZ(p)는 dim M, p, ∥Ric∥∞, 그리고 임의성 반경에만 의존하는 상수를 가진다.
• 1 < p ≤ 2 이고, M가 제1순서 유계 기하학을 가지며, t ≥ 1 에 대해 vol(Btr(x)) ≤ D t^δ r^δ vol(Br(x)) 를 만족하는 체적 성장 조건을 갖는다면, CZ(p)는 dim M, p, ∥R∥∞, ∥∇R∥∞, D, δ 에 의존하는 상수를 가진다.
• 충분히 작은 지오데식 구내에서는 CZ(p)가 반지름, dim M, p, 그리고 조화 반경의 하한에만 의존하는 상수를 가진다.
• 캘러존-지그문트 부등식은 컴팩트 변형, 특히 컴팩트 경계를 가진 다성체의 접합에 대해 안정하다.
• p = 2 일 때, 리치 곡률 하한 Ric ≥ −C 가 성립하면 보흐너 항등식을 통해 명시적인 상수를 가진 더 강력한 무한소 형태의 CZ(2)를 얻을 수 있다.