[논문 리뷰] The Calderon problem in transversally anisotropic geometries

David Dos Santos Ferreira, Yaroslav Kurylev외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 06.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 35인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 단순하지 않은 가로 방향 다양체를 갖는 횡방향 이방성 기하학으로 비등방성 Calderón 문제를 확장한다. 가우시안 빔 준모드를 사용하여 복소 기하광학 해를 구성함으로써, 경계 측정치가 알려진 계수의 혼합 푸리에 변환/감쇠된 지오데식 레이 변환을 유일하게 결정함을 증명한다. 이는 가로 방향 다양체 위의 지오데식 레이 변환이 단사일 경우 항상 유일성 결과를 확보함을 의미한다. 무한한 실린더의 경우, 가로 방향 계량은 경계 자료로부터 유일하게 복원된다.

ABSTRACT

We consider the anisotropic Calderón problem of recovering a conductivity matrix or a Riemannian metric from electrical boundary measurements in three and higher dimensions. In the earlier work [8], it was shown that a metric in a fixed conformal class is uniquely determined by boundary measurements under two conditions: (1) the metric is conformally transversally anisotropic (CTA), and (2) the transversal manifold is simple. In this paper we will consider geometries satisfying (1) but not (2). The first main result states that the boundary measurements uniquely determine a mixed Fourier transform / attenuated geodesic ray transform (or integral against a more general semiclassical limit measure) of an unknown coefficient. In particular, one obtains uniqueness results whenever the geodesic ray transform on the transversal manifold is injective. The second result shows that the boundary measurements in an infinite cylinder uniquely determine the transversal metric. The first result is proved by using complex geometrical optics solutions involving Gaussian beam quasimodes, and the second result follows from a connection between the Calderón problem and Gel’fand’s inverse problem for the wave equation.

연구 동기 및 목표

• 가로 방향 방향에서 단순하지 않아도 되는, 등각적으로 횡방향 이방성(CTA) 기하학으로 비등방성 Calderón 문제를 확장한다.
• 가로 방향 다양체가 단순 조건을 만족하지 않을 경우, 경계 측정치로부터 횡방향 이방성 리만 다양체의 계수를 복원하는 데 있어 유일성 결과를 확립한다.
• 무한한 실린더의 맥락에서 파동 방정식에 대한 Gel’fand의 역문제와 Calderón 문제를 연결한다.
• 경계 측정치가 알려진 계수의 혼합 푸리에 변환/감쇠된 지오데식 레이 변환을 유일하게 결정함을 보여준다.

제안 방법

• 횡방향 이방성 구조에 맞추어 조정된 가우시안 빔 준모드를 사용하여 복소 기하광학 해를 구성한다.
• 반도체 극한에서 해의 점근적 행동을 분석하여 알려지지 않은 계수에 대한 정보를 추출한다.
• 혼합 변환을 통해 역문제를 가로 방향 다양체 위의 지오데식 레이 변환이 단사임을 보장하는 것으로 환원한다.
• 미세국소 해석과 진동 적분 기법을 사용하여 감쇠된 레이 변환과 경계 측정치의 관계를 다룬다.
• 무한한 실린더 설정에서 Calderón 문제와 파동 방정식에 대한 Gel’fand의 역문제 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 정적 위상의 방법과 매개수 구성 기법을 적용하여 경계 근처에서 해의 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가로 방향 다양체가 단순하지 않은 경우, 횡방향 이방성 기하학에서 비등방성 Calderón 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 CTA 기하학에서 경계 측정치가 알려진 계수를 유일하게 결정하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 가로 방향 다양체 위의 지오데식 레이 변환이 계수의 유일성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 무한한 실린더 기하학에서 Calderón 문제와 파동 방정식에 대한 Gel’fand의 역문제 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 가우시안 빔 준모드를 사용한 복소 기하광학 해는 경계 자료로부터 계수에 대한 정보를 복원하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 횡방향 이방성 기하학에서 경계 측정치는 알려지지 않은 계수의 혼합 푸리에 변환/감쇠된 지오데식 레이 변환을 유일하게 결정한다.
• 가로 방향 다양체 위의 지오데식 레이 변환이 단사일 경우 계수의 유일성이 보장된다.
• 무한한 실린더의 경우, 가로 방향 계량은 경계 측정치로부터 유일하게 결정된다.
• 이 방법은 반도체 극한에서 점근적 분석이 가능한 가우시안 빔 준모드로부터 구성된 복소 기하광학 해에 의존한다.
• 실린더 설정에서 Calderón 문제와 파동 방정식에 대한 Gel’fand의 역문제 사이의 연결 고리는 엄밀히 증명되었다.
• 이전의 유일성 결과를 일반화하여, 가로 방향 다양체가 단순해야 한다는 조건을 제거하였다.