[논문 리뷰] The canonical heights for Jordan blocks of small eigenvalues, preperiodic points, and the arithmetic degrees

Kaoru Sano|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 수체 위의 매끄럽고 사영적인 다양체 위의 자기사상에 대해 절댓값이 작고, 고유값이 1이 아닌 경우에 해당하는 조르당 블록과 관련된 새로운 캐논리컬 높이 함수를 제안한다. 스펙트럼 조건에 따라, 몫 공간의 딜러 클래스 위에서 고유값의 절댓값이 1이 아닌 경우, 임의의 점 P에 대해 산술도 α_f(P)가 1이 되는 것과 P가 전주기적임이 동치임을 증명하며, 이는 이전의 극화 자기사상에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We introduce a new canonical height function for Jordan blocks of small eigenvalues for endomorphisms on smooth projective varieties over a number field. We prove that under an assumption on the eigenvalues of the endomorphism on the group of divisors modulo numerical equivalence, the arithmetic degree at a rational point is equal to one if and only if it is preperiodic under the endomorphism.

연구 동기 및 목표

• 수체 위의 매끄럽고 사영적인 다양체 위의 자기사상에 대해 고유값의 절댓값이 0 또는 1이 아닌 조르당 블록에 대한 캐논리컬 높이 이론을 확장한다.
• 디러클래스 군의 스펙트럼 자료를 이용해 산술도를 통해 전주기성의 기준을 설정한다.
• 극화 자기사상에 대한 카와구치-실버만 결과를 스펙트럼 행동이 제어되는 비극화 경우로 일반화한다.
• 오빗의 역극한 공간 위에서 캐논리컬 높이를 정의하고 특성화함으로써, 자동사상이 아닌 동역학의 분석을 가능하게 한다.

제안 방법

• 고유값 λ를 포함한 정규화 및 함수방정식을 통해, 역극한 공간 lim_f X(Q̄) 위에서 캐논리컬 높이 함수 ŝh_{D_j}를 정의한다.
• 함수방정식 ŝh_{D_j} ∘ f = ŝh_{D_{j-1}} + λ ŝh_{D_j}를 이용해 절댓값이 0 또는 1이 아닌 고유값을 가진 조르당 블록의 높이를 정의한다.
• 역극한 공간 lim_f X(Q̄)를 이용해 후방 및 전방 오빗을 모델링함으로써, 자동사상을 초월한 오빗 구조를 일반화한다.
• 디러클래스 군의 몫공간 V̄_H ⊂ N^1(X)_Q 위에서 f^*의 스펙트럼 반경 μ_H(f)를 분석하며, 절댓값이 1인 고유값을 배제한다.
• 웨일 높이 함수와 수치적 동치를 이용해 산술도 α_f(P)를 앰플리 딜러 H의 선택에 관계없이 정의한다.
• 연산자 노름 추정과 스펙트럼 반경의 경계를 활용하여, 높이의 증가율이 f^*의 고유값과 관련됨을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 f^*|V̄_H 위에서 어떤 스펙트럼 조건이 성립할 경우, 산술도 α_f(P)가 1이 되는 것과 P가 전주기적임이 동치가 되는가?
• RQ2 비자기사상 동역계에서 절댓값이 0 또는 1이 아닌 고유값을 가진 조르당 블록에 대해 캐논리컬 높이를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 f^*가 V̄_H 위에서 스펙트럼 반경과 오빗에 따른 웨일 높이의 증가율 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 lim_f X(Q̄) 위에서의 캐논리컬 높이 구성이 산술도를 통해 전주기 점을 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 V_H와 V̄_H 위에서 f^*의 조르당 블록 구조는 어떤 관계가 있으며, 특히 |λ| > √δ_f 인 고유값에 대해 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• f^*가 V̄_H 위에서 절댓값이 1인 고유값을 갖지 않는 한, 산술도 α_f(P)는 1이 되는 것과 P가 전주기적임이 동치이다.
• 캐논리컬 높이 함수 ŝh_{D_j}는 정규화와 고유값 λ를 포함한 함수방정식에 의해 존재하며 유일하게 결정된다.
• f^*가 V̄_H 위에서의 스펙트럼 반경은 |λ| ≥ 1 인 고유값 λ에 대해 |λ|의 최댓값인 μ_H(f)와 같으며, 이 값은 산술도를 상한으로 제어한다.
• |λ| > √δ_f 인 고유값에 대해, V_H 위에서 f^*의 조르당 블록 구조는 몫사상에 의해 V̄_H 위의 그것과 동형이다.
• 산술도 α_f(P)가 μ_H(f)보다 작을 때이고 그때에만 P가 전주기적임이 보장되며, 이는 전주기성의 스펙트럼 특성화를 제공한다.
• 이 구성은 극화 자기사상에 대한 카와구치-실버만 결과를 스펙트럼 행동이 제어되는 더 넓은 자기사상의 범주로 일반화한다.