[논문 리뷰] The Carathéodory-Fejér Interpolation Problems and the von-Neumann Inequality

Rajeev Gupta|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 28.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가환하는 $3\times3$ 행렬에 대한 von Neumann 부등식과 다항체 $\mathbb{D}^n$ 위의 Carathéodory-Fejér 보간 문제에 대한 영향을 조사한다. Korányi와 Pukánzsky의 정리에 기반한 새로운 접근 방식을 사용하여 $n=2$ 경우의 보간을 위한 필요 조건을 제시하며, Varopoulos의 상수 $C_2(n)$에 대한 경계를 개선하여 $\lim_{n\to\infty} C_2(n) \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}K^\mathbb{C}_G$임을 보이며, 일반적인 $n$에 대해서는 결과가 확장되지만 $n>2$에 대한 계산은 생략된다.

ABSTRACT

The validity of the von-Neumann inequality for commuting $n$ - tuples of $3 imes 3$ matrices remains open for $n\geq 3$. We give a partial answer to this question, which is used to obtain a necessary condition for the Carathéodory-Fejér interpolation problem on the polydisc $\mathbb D^n.$ In the special case of $n=2$ (which follows from Ando's theorem as well), this necessary condition is made explicit. An alternative approach to the Carathéodory-Fejér interpolation problem, in the special case of $n=2,$ adapting a theorem of Korányi and Pukánzsky is given. As a consequence, a class of polynomials are isolated for which a complete solution to the Carathéodory-Fejér interpolation problem is easily obtained. A natural generalization of the Hankel operators on the Hardy space of $H^2(\mathbb T^2)$ then becomes apparent. Many of our results remain valid for any $n\in \mathbb N,$ however, the computations are somewhat cumbersome for $n>2$ and are omitted. The inequality $\lim_{n o \infty}C_2(n)\leq 2 K^\mathbb C_G$, where $K_G^\mathbb C$ is the complex Grothendieck constant and \[C_2(n)=\sup\big\{\|p(\boldsymbol T)\|:\|p\|_{\mathbb D^n,\infty}\leq 1, \|\boldsymbol T\|_{\infty} \leq 1 \big\}\] is due to Varopoulos. Here the supremum is taken over all complex polynomials $p$ in $n$ variables of degree at most $2$ and commuting $n$ - tuples $\boldsymbol T:=(T_1,\ldots,T_n)$ of contractions. We show that \[\lim_{n o \infty}C_2(n)\leq \frac{3\sqrt{3}}{4} K^\mathbb C_G\] obtaining a slight improvement in the inequality of Varopoulos. We show that the normed linear space $\ell^1(n),$ $n>1,$ has no isometric embedding into $k imes k$ complex matrices for any $k\in \mathbb N$ and discuss several infinite dimensional operator space structures on it.

연구 동기 및 목표

• 가환하는 $3\times3$ 행렬의 $n$-튜플에 대한 von Neumann 부등식의 열린 문제를 해결하는 것, 특히 $n \geq 3$의 경우.
• von Neumann 부등식 프레임워크를 이용하여 다항체 $\mathbb{D}^n$ 위의 Carathéodory-Fejér 보간 문제에 대한 필요 조건을 유도하는 것.
• Korányi와 Pukánzsky의 정리를 응용하여 $n=2$ 경우에 대한 대체 해법을 제시함으로써 특정 다항식의 클래스에 대해 명시적 해를 도출하는 것.
• Hankel 연산자의 $H^2(\mathbb{T}^2)$ 위의 일반화를 시도하고 일반적인 $n$으로 확장하나, 복잡성으로 인해 계산은 $n=2$로 국한된다.
• 기존 알려진 $\lim_{n\to\infty} C_2(n)$의 상한을 개선하여, Varopoulos의 결과보다 더 낫게 $\frac{3\sqrt{3}}{4}K^\mathbb{C}_G$로 추정하는 것.

제안 방법

• 가환 수축 연산자에 대한 다항식 함수 계산의 유계성을 분석하기 위해 von Neumann 부등식 프레임워크를 활용한다.
• Ando의 정리를 $n=2$ 경우의 기준으로 사용하여 대체 유도의 기초를 마련한다.
• Korányi와 Pukánzsky의 결과를 응용하여 $n=2$ Carathéodory-Fejér 문제에 대한 대체 해법 경로를 구성한다.
• 이 방법을 통해 보간 문제가 완전히 해결 가능한 다항식의 클래스를 도출한다.
• 연산자 공간 기법을 활용하여 $\ell^1(n)$의 행렬 대수로의 등장각 임bedding을 분석하며, $n>1$일 경우 그러한 임베딩이 존재하지 않음을 보인다.
• 복소 Grothendieck 상수 $K^\mathbb{C}_G$를 사용하여, 차수 2 다항식과 가환 수축 연산자에 대한 $\|p(\boldsymbol{T})\|$의 상한인 $C_2(n)$의 점근적 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3×3 행렬에 대한 von Neumann 부등식을 사용하여 다항체 $\mathbb{D}^n$ 위의 Carathéodory-Fejér 보간 문제에 대해 유도할 수 있는 필요 조건은 무엇인가?
• RQ2 Korányi와 Pukánzsky의 정리를 활용하여 $n=2$ Carathéodory-Fejér 문제에 대해 대체 해법을 구성할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법 하에서 두 변수 다항식의 어떤 클래스에 대해 보간 문제가 완전히 해결되는가?
• RQ4 점근적 상수 $\lim_{n\to\infty} C_2(n)$는 Varopoulos의 경계와 비교해 어떻게 되며, 이를 개선할 수 있는가?
• RQ5 $n>1$인 $\ell^1(n)$은 어떤 $k\times k$ 복소 행렬 대수로도 등장각 임베딩을 갖는가?

주요 결과

• 다항체 $\mathbb{D}^n$ 위의 Carathéodory-Fejér 보간 문제에 대한 필요 조건이 도출되었으며, $n=2$ 경우에 명시적인 표현이 제공되었다.
• Korányi와 Pukánzky의 정리를 활용한 대체 해법 경로가 $n=2$ 보간 문제에 대해 확립되었으며, 특정 다항식의 클래스에 대해 완전한 해를 도출하였다.
• 점근적 상수 $\lim_{n\to\infty} C_2(n)$는 $\frac{3\sqrt{3}}{4}K^\mathbb{C}_G$ 이하로 상한이 제시되었으며, 이는 Varopoulos의 이전 결과보다 개선된 추정이다.
• $n>1$인 경우, 노름을 갖춘 선형 공간 $\ell^1(n)$은 어떤 $k\in\mathbb{N}$에 대해서도 $k\times k$ 복소 행렬로의 등장각 임베딩을 갖지 못한다.
• 분석 과정에서 $H^2(\mathbb{T}^2)$ 위의 Hankel 연산자의 자연스러운 일반화가 도출되었으며, 원칙적으로 고차원 $n$으로 확장 가능하다.
• 다수의 결과, 특히 $C_2(n)$에 대한 개선된 상한은 일반적인 $n$에 대해 성립함이 입증되었으나, 복잡성으로 인해 세부 계산은 $n=2$로 국한되었다.