[논문 리뷰] The cardinality of the sublattice of closed ideals of operators between certain classical sequence spaces

Daniel Freeman, Thomas Schlumprecht외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 03.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $1 < p < \infty$ 인 $\varepsilon_p$, $\mathrm{c}_0$, 및 $\ell_p$, $\ell_\infty$ 위의 닫힌 연산자 아이디얼의 격자(cardinality)가 $2^{2^\omega}$임을 증명하며, 이는 이전 결과들이 단지 $2^\omega$를 보였던 것을 크게 확장한 것이다. 저자들은 $\mathbb{N}$의 거의 분리된 부분집합들에 의해 인덱싱된 연산자 가중치를 구성하여, 각 부분집합이 서로 다른 닫힌 아이디얼을 생성함을 보이며, 아이디얼 격자의 최대 가능 카디널리티를 달성한다.

ABSTRACT

Theorem A and Theorem B of [1] state that for $1

연구 동기 및 목표

• 모든 $1 < p < \infty$ 에 대해 $\mathcal{L}(\ell_p, \mathrm{c}_0)$, $\mathcal{L}(\ell_p, \ell_\infty)$, 및 $\mathcal{L}(\ell_1, \ell_p)$ 위의 닫힌 연산자 아이디얼 격자의 정확한 카디널리티를 결정하는 것.
• 이전 결과에서 최소한 $2^\omega$ 개의 닫힌 아이디얼이 있음을 보였음을 바탕으로, 최적의 경계인 $2^{2^\omega}$로 확장하는 것.
• 서로 다른 부분집합이 서로 다른 닫힌 아이디얼을 생성하도록 하는 연산자 가중치를 구성함으로써, 아이디얼 격자의 최대 카디널리티를 확보하는 것.
• 쌍대성과 임bedding 기법을 적용하여 결과를 $\mathrm{VMO}$ 및 $H_1$과 같은 관련 공간으로 확장하는 것.

제안 방법

• 스케일된 RIP 행렬을 사용하여 유한차원 $\ell_2^{u_n}$ 와 $\ell_\infty^{v_n}$ 사이의 균일 유계 연산자 수열 $(T_n)$ 을 구성한다.
• canonical 투영을 통해 $M \subset \mathbb{N}$ 에 속하는 좌표에 대해 $\ell_p$-합인 $\ell_2^{u_n}$ 과 $\mathrm{c}_0$-합인 $\ell_\infty^{v_n}$ 위에 전역 연산자 $T_M$ 을 정의한다.
• 무한하고 거의 분리된 $M, N$ 에 대해 $M \setminus N$ 이 무한할 경우 $T_M \notin \mathcal{J}^{T_N}(U,V)$ 임을 이용하여 아이디얼 간 분리 성질을 확보한다.
• 함수해석학적 추론을 적용: $\Phi(T_M) = 1$ 이고 $\Phi|_{\mathcal{J}^{T_N}(U,V)} = 0$ 인 함수 $\Phi \in \mathcal{L}(U,V)^*$ 를 구성함으로써, $\mathrm{dist}(T_M, \mathcal{J}^{T_N}) \geq 1$ 이 됨을 유도한다.
• 일반적인 바나흐 공간 $W$ 에 대해 $\mathrm{c}_0$ 를 포함하는 경우, 임베딩 $J: V \to W$ 를 통해 결과를 확장하며, 거리 추정치는 상수 $c = \|J^{-1}\|^{-1}$ 로 유지된다.
• 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 의 거의 분리된 무한 부분집합들로 이루어진 $2^\omega$ 개의 가중치 가중치 $\mathcal{C}$ 를 사용하여, $\mathcal{A} \subset \mathcal{C}$ 에 대해 $\mathcal{J}^{\mathcal{T}(\mathcal{A})}(U,W)$ 를 통해 $2^{2^\omega}$ 개의 서로 다른 닫힌 아이디얼을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $1 < p < \infty$ 인 $\mathcal{L}(\ell_p, \mathrm{c}_0)$ 위의 닫힌 연산자 아이디얼 격자의 정확한 카디널리티는 무엇인가요?
• RQ2 [1]에서 제시된 연산자 구성법을 개선하여 $2^{2^\omega}$ 개의 서로 다른 닫힌 아이디얼을 생성할 수 있는가요?
• RQ3 거의 분리된 집합에 의해 인덱싱된 연산자 간의 분리 성질이 생성된 닫힌 아이디얼의 상이성을 보장하는가요?
• RQ4 이 결과는 다른 고전적 수열 공간들과 그들의 연산자 아이디얼로 어느 정도까지 확장될 수 있나요?
• RQ5 하드리 공간 $H_1$ 과 그 쌍대공간인 $\mathrm{VMO}$ 역시 $2^{2^\omega}$ 개의 닫힌 연산자 아이디얼을 갖는가요?

주요 결과

• $1 < p < \infty$ 인 $\mathcal{L}(\ell_p, \mathrm{c}_0)$ 위의 닫힌 아이디얼 격자의 카디널리티는 정확히 $2^{2^\omega}$ 이다.
• $\mathcal{L}(\ell_p, \ell_\infty)$ 에 대해서도 동일한 카디널리티가 성립한다. 이 경우 $V \cong \mathrm{c}_0$ 이고 $U \sim \ell_p$ 이기 때문이다.
• $\mathcal{L}(\ell_1, \ell_p)$ 에서도 닫힌 아이디얼 격자의 카디널리티는 $2^{2^\omega}$ 이며, 이는 쌍대성 추론을 통해 확립된다.
• 거의 분리된 부분집합 $M \subset \mathbb{N}$ 에 의해 인덱싱된 연산자 $T_M$ 의 구성은 각 부분집합이 서로 다른 닫힌 아이디얼을 생성함을 보장한다.
• $M \setminus N$ 이 무한하고 $c = \|J^{-1}\|^{-1}$ 일 때, 거리 추정치 $\mathrm{dist}(J \circ T_M, \mathcal{J}^{T_N}(U,W)) \geq c$ 는 아이디얼 간 분리를 확인한다.
• 결과는 $\mathcal{L}(\mathrm{VMO})$ 와 $\mathcal{L}(H_1)$ 로도 확장되며, 이 두 공간은 각각 $\mathrm{c}_0$ 과 $\ell_1$ 의 보완 복사본을 포함하고 있어 $2^{2^\omega}$ 개의 닫힌 아이디얼을 갖는다.