[논문 리뷰] The category of implicative algebras and realizability

Walter Ferrer, Octavio Malherbe|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 17.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 함의 대수학(IA)과 추상 크리브네 구조(AKS)의 범주에서 사상들을 도입하고 분석함으로써 크리브네 실현 가능성에 대한 범주론적 프레임워크를 수립한다. 이는 이 두 범주 사이에 기본적인 수반 관계를 증명함으로써 이루어지며, 핵심 기여는 함의 대수학과 그 닫힘 연산자로부터 유도된 함자들을 통해 크리브네, 슈트라이처, 불릿 트리포스 사이의 형식적 동치를 규명하는 것이다. 특히 불릿 구조와 닫힘 연산자의 알렉산드로프 근사치를 통해 이를 달성한다.

ABSTRACT

In this paper we continue with the algebraic study of Krivine's realizability, refining some of the authors' previous constructions by introducing two categories, with objects the abstract Krivine structures and the implicative algebras respectively. These categories are related by an adjunction whose existence clarifies many aspects of the theory previously established.

연구 동기 및 목표

• 함의 대수학(IA)과 추상 크리브네 구조(AKS)의 범주에서 사상을 형식화하여 실현 가능성의 범주론적 접근을 지원한다.
• 특히 불릿 구조와 $A/K$ 구조를 포함한 이전의 구성들을 통합된 범주론적 프레임워크 내에서 일반화하고 완성한다.
• 함의 대수학 또는 함의 순서 조합 대수학(IOCA)로부터 유도될 때 크리브네, 슈트라이처, 불릿 트리포스가 동치가 됨을 보여줌으로써 이들의 동치성을 명확히 한다.
• 함의 코모나드에 대한 고정점 함자로 정의된 함자 $V$를 통해 함의 코모나드의 범주에서 IA로 가는 오른쪽 수반 함자 $V$를 수립한다. 이는 닫힘 연산자의 알렉산드로프 근사치를 통해 불릿 구조를 일반화한다.
• 닫힘 연산자에 대한 고정점 부분대수 위에서의 트리포스가 원래 대수학 위에서의 트리포스와 동치임을 보이며, 순서를 유지하고 본질적으로 전성인 임bedding을 통해 이를 증명한다.

제안 방법

• 함의 대수학을 객체로, 계산적으로 조밀하거나 적용 가능한 사상을 사상으로 가지는 두 범주 $\mathbf{IAc}$ 와 $\mathbf{IA}$ 를 도입한다.
• 추상 크리브네 구조에 대해 유사한 범주 $\mathbf{AKSc}$ 와 $\mathbf{AKS}$ 를 정의하며, 이들의 사상은 적용 가능한 구조를 유지한다.
• 이전의 $A$ 와 $K$ 구성들을 함자로 일반화하여 $A: \mathbf{AKS} \to \mathbf{IA}$ 와 $K: \mathbf{IA} \to \mathbf{AKS}$ 를 구성한다.
• $\mathbf{AKSc}$ 와 $\mathbf{IAc}$ 사이에 핵심적인 수반 관계 $A \dashv K$ 를 수립함으로써, AKS와 IA 사이의 이중성을 명확히 한다.
• 함의 코모나드의 범주 $\mathbf{Co}_{\text{imp}}(\mathbf{IA})$ 에서 $\mathbf{IA}$ 로 가는 함자 $V: \mathbf{Co}_{\text{imp}}(\mathbf{IA}) \to \mathbf{IA}$ 를 일반화된 불릿 구조로 정의한다. 이는 함의 코모나드의 고정점 함자로서 정의되며, $T \dashv V$ 를 만족한다.
• 함자 $V$ 를 사용하여, 어떤 IA와 그 닫힘 연산자에 대한 고정점 부분대수 위에서의 트리포스가 동치임을 보인다. 특히 이중 수직 닫힘 연산자에 대해 이를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함의 대수학과 추상 크리브네 구조 사이의 사상을 어떻게 형식적으로 정의할 수 있을까? 이는 실현 가능성의 범주론적 다루움을 지원할 수 있다.
• RQ2 함의 대수학과 추상 크리브네 구조의 범주들 사이의 범주론적 관계는 무엇이며, 이는 트리포스의 구성에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 크리브네, 슈트라이처, 불릿 트리포스 사이의 동치성은 범주론적 함자와 닫힘 연산자를 통해 재해석되고 일반화될 수 있는가?
• RQ4 불릿 구조는 어떻게 함의 코모나드의 범주 위에서 함자로 일반화될 수 있으며, 이는 서로 다른 대수학 위에서의 트리포스를 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 어떤 조건에서 함의 대수학과 그 닫힘 연산자에 대한 부분대수 위에서의 트리포스가 동치가 되는가?

주요 결과

• 범주 $\mathbf{AKSc}$ 와 $\mathbf{IAc}$ 는 수반 관계 $A \dashv K$ 를 통해 연결되며, 이는 추상 크리브네 구조와 함의 대수학 사이의 형식적 이중성을 수립한다.
• 함의 대수학 $\mathcal{A}$ 와 그 $\iota$-고정점 부분대수 $\mathcal{A}_{\iota}$ 에 대응하는 트리포스는 동치이며, 이는 불릿 구조를 범주론적 함자 $V$ 로 일반화한 것이다.
• 함의 코모나드의 고정점 함자로 정의된 함자 $V: \mathbf{Co}_{\text{imp}}(\mathbf{IA}) \to \mathbf{IA}$ 는 자명한 코모나드 함자 $T$ 에 대해 오른쪽 수반 함자 $T \dashv V$ 를 만족하며, 이는 닫힘 연산자의 알렉산드로프 근사치를 통해 불릿 연산자를 일반화한다.
• 모든 IOCA $\mathcal{B}$ 에 대해 트리포스 $\mathbf{H}_{\mathcal{B}}$ 와 $\mathbf{H}_{A_{\perp}(K(\mathcal{B}))}$ 는 동치이며, 이 동치는 상호 역인 사상 $f(P) = \bigwedge P$ 와 $g(a) = \uparrow a$ 에 의해 유도된다.
• $\mathbf{H}_{A_{\perp}(\mathcal{K})} \to \mathbf{H}_{A(\mathcal{K})}$ 의 포함관계는 임의의 $\mathcal{K} \in \mathbf{AKS}$ 에 대해 트리포스의 동치를 유도하며, 이는 크리브네와 슈트라이처의 트리포스가 통합됨을 확인한다.
• 함의 대수학 또는 IOCA에서 트리포스를 구성하는 것은, $\mathbf{IOCA}$ 에서의 가역 사상에 의해 생성되는 동치에 의해, 동형 사상에 대해 불변임을 보였다.