[논문 리뷰] The category of $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds

Covolo, Tiffany, Grabowski, Janusz외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 $Χ_n^2$-초다양체의 기초 이론을 수립하기 위해 $Χ_n^2$-gradation과 Deligne의 부호 규칙을 바탕으로 한 일반화된 초기하학 프레임워크를 도입한다. 초다양체 사상이 좌표 함수에 대한 작용에 의해 완전히 결정됨을 증명하고, 초다양체의 범주가 접선 및 코접선 함자에 대해 닫혀 있음을 보이며, n중 벡터(bundle)가 노말화된 형식의 멱급수를 통해 $Χ_n^2$-초다양체로 자연스럽게 초기화됨을 보여준다.

ABSTRACT

In Physics and in Mathematics $\mathbb{Z}_2^n$-gradings, $n>1$, appear in various fields. The corresponding sign rule is determined by the `scalar product' of the involved $\mathbb{Z}_2^n$-degrees. The $\mathbb{Z}_2^n$-Supergeometry exhibits challenging differences with the classical one: nonzero degree even coordinates are not nilpotent, and even (resp., odd) coordinates do not necessarily commute (resp., anticommute) pairwise. In this article we develop the foundations of the theory: we define $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds and provide examples in the ringed space and coordinate settings. We thus show that formal series are the appropriate substitute for nilpotency. Moreover, the class of $\mathbb{Z}_2^\bullet$-supermanifolds is closed with respect to the tangent and cotangent functors. We explain that any $n$-fold vector bundle has a canonical `superization' to a $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifold and prove that the fundamental theorem describing supermorphisms in terms of coordinates can be extended to the $\mathbb{Z}_2^n$-context.

연구 동기 및 목표

• 기본 초기하학을 넘어서 $Χ_n^2$-초다양체를 위한 엄밀한 기하학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 특히 노말화되지 않은 짝수 차수 좌표와 비표준 교환 법칙으로 인해 발생하는 고급 등급 초기하학의 기초적 문제를 해결하기 위해.
• 초다양체 사상이 좌표 함수의 역상에 의해 완전히 결정됨을 증명하여 고전적 기본 정리를 $Χ_n^2$-맥락으로 확장하기 위해.
• 초다양체의 범주가 접선 및 코접선 함자에 대해 닫혀 있음을 보이며, 이를 입증하기 위해.
• n중 벡터(bundle)의 자연스러운 초다양체화를 $Χ_n^2$-초다양체로 확립하여 자연스러운 기하학적 모델을 제공하기 위해.

제안 방법

• $Χ_n^2$-초다양체를 $Χ_n^2$-gradation을 갖는 함수 대수와 함께 링드 공간과 좌표 차트를 통해 정의한다.
• 영이 아닌 차수의 짝수 좌표에서 노말화를 대체하기 위해 형식의 급수를 사용한다.
• Deligne의 부호 규칙 적용: 동차 원소의 $Χ_n^2$-차수 $(m_1,\dots,m_n)$ 과 $(k_1,\dots,k_n)$ 에 대해 $AB = (-1)^{\sum_{i=1}^n m_i k_i} BA$.
• 함수 대수 위의 $\mathfrak{m}$-adic 위상에 대해 섹션의 역상이 연속적임을 증명한다.
• 국소 좌표에서 타일러 전개를 통해 함수의 껍질의 다항식 근사치를 구성한다.
• $Χ_n^2$-사상이 함수 대수의 연속성과 완비성에 기반하여 좌표 함수의 역상에 의해 유일하게 결정됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수 좌표가 노말화되지 않았고 교환 법칙이 일반화된 상황에서 $Χ_n^2$-초다양체에 대한 일관된 기하학 이론을 어떻게 구축할 수 있는가?
• RQ2 고전적 기본 정리가, 사상이 좌표 역상에 의해 결정됨을 보장하는 $Χ_n^2$-맥락으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 $Χ_n^2$-초다양체의 범주가 접선 및 코접선 함자에 대해 닫혀 있는가? 이는 벡터 번들의 자연스러운 초다양체화와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 형식의 급수는 $Χ_n^2$-초다양체 기하학에서 노말화를 어떻게 대체하는가? 이는 함수 대수의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 n중 벡터(bundle)는 어떤 방식으로 자연스러운 초다양체화 과정을 통해 $Χ_n^2$-초다양체로 자연스럽게 유도되는가?

주요 결과

• 접선 및 코접선 함자에 대해 $Χ_n^2$-초다양체의 범주가 닫혀 있으며, $TM$의 함수 대수는 Deligne의 부호 규칙에 따라 미분 초다양형식의 완비화이다.
• 목표가 $Χ_n^2$-초다양체 도메인인 모든 $Χ_n^2$-사상은 좌표 함수의 역상에 의해 완전히 결정되며, 고전적 기본 정리를 $Χ_n^2$-맥락으로 일반화한다.
• $Χ_n^2$-초다양체의 함수 대수는 형식 변수에 대한 다항식 대수의 완비화이며, 노말화를 수렴성에 의한 $\mathfrak{m}$-adic 위상으로 대체한다.
• 고전적 $\mathbb{Z}_2$-초다양체 $M$의 접선 번들의 $T[1]M$은 자연스럽게 $Χ_2^2$-초다양체이며, 그 함수 대수는 편미분형식의 대수와 동형이다.
• 모든 $n$-중 벡터(bundle)의 초다양체화는 자연스럽게 $Χ_n^2$-초다양체를 이룬다. 이는 고급 등급 초다양체 기하학을 위한 자연스러운 기하학적 모델을 제공한다.
• $\u03a7_n^2$-Berezinian과 관련된 고차 추적은 고전적 Berezinian의 비자명한 일반화를 제공하며, 헤이븐의 행렬에 대한 케일리의 도전을 해결한다.