[논문 리뷰] The Center of the Nilcoxeter and 0-Hecke Algebras

Joelle Brichard|ArXiv.org|2008. 11. 16.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모브우스 띠 위의 위상적 다이어그램 계산을 사용하여 0-헤이크 대수 $\mathcal{H}_n$ 와 닐콕스터 대수 $\mathcal{NC}_n$ 의 중심의 차원을 계산한다. $Z(\mathcal{NC}_n)$ 에 대한 명시적 기저를 구성하여, 이 기저에서의 곱셈 표가 자명하다는 것을 보이고, $Z(\mathcal{H}_n)$ 에 대해서도 유사한 기저 구성 방법을 추측한다. 두 중심의 차원은 분할 기반 공식으로 주어지며 동일하다.

ABSTRACT

We compute the dimension of the center of the 0-Hecke algebra $\mathcal{H}_n$ and of the Nilcoxeter algebra $\mathcal{NC}_n$ using a calculus of diagrams on the Möbius band. In the case of the Nilcoxeter algebra, this calculus is shown to produce a basis for $Z(\mathcal{NC}_n)$ and the table of multiplication in this basis is shown to be trivial. We conjecture that a basis for $Z(\mathcal{H}_n)$ can also be obtained in a specific way from this topological calculus.

연구 동기 및 목표

• 0-헤이크 대수 $\mathcal{H}_n$ 와 닐콕스터 대수 $\mathcal{NC}_n$ 의 중심의 차원을 결정하는 것.
• 모브우스 띠 위의 다이어그램 계산을 통해 $Z(\mathcal{NC}_n)$ 의 기저 요소를 기술하는 것.
• 구성된 $Z(\mathcal{NC}_n)$ 의 기저에서의 곱셈 표가 자명하다는 것을 보이는 것.
• 동일한 위상적 계산을 사용하여 $Z(\mathcal{H}_n)$ 의 기저를 구성하는 방법을 추측하는 것.
• 몫 공간 $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ 의 동형성에 의해 $\dim Z(\mathcal{H}_n) = \dim Z(\mathcal{NC}_n)$ 를 확립하는 것.

제안 방법

• 모브우스 띠 위의 다이어그램 계산을 사용하여 대수 $\mathcal{H}_n$ 와 $\mathcal{NC}_n$ 의 원소를 표현한다.
• 추적 사상 $\varepsilon$ 를 적용하여 $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ 와의 쌍대성에 의해 중심 $Z(\mathcal{A})$ 를 식별한다.
• 몫 공간 $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ 에서의 쌍대 대표자를 나타내는 다이어그램의 보완을 합하여 $Z(\mathcal{NC}_n)$ 의 기저 요소를 구성한다.
• $\mathcal{NC}_n$ 에서의 관계 $T_i^2 = 0$ 을 사용하여 비최소 다이어그램을 제거하고 동치류를 정의한다.
• $\mathcal{H}_n$ 에서의 관계 $T_i^2 = T_i$ 를 적용하여 중복 다이어그램을 생성하고 쌍대 대표자를 식별한다.
• 모브우스 띠 위의 위상적 동치를 적용하여 다이어그램을 분류하고 $\mathcal{H}_n$ 과 $\mathcal{NC}_n$ 간의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 0-헤이크 대수 $\mathcal{H}_n$ 의 중심의 차원은 무엇인가?
• RQ2 모브우스 띠 위의 위상적 다이어그램 계산을 사용하여 $Z(\mathcal{NC}_n)$ 의 기저를 구성할 수 있는가?
• RQ3 구성된 $Z(\mathcal{NC}_n)$ 의 기저에서의 곱셈 표는 자명한가?
• RQ4 더 복잡한 쌍대 대표자 구조에도 불구하고, $Z(\mathcal{H}_n)$ 에 대해서도 유사한 기저 구성 방법을 확장할 수 있는가?
• RQ5 $\mathcal{A} = \mathcal{H}_n$ 과 $\mathcal{A} = \mathcal{NC}_n$ 에 대해 몫 공간 $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ 는 동형인가?

주요 결과

• $\mathcal{NC}_n$ 의 중심의 차원은 $\sum_{\lambda \vdash n} \frac{n_\lambda!}{m_\lambda}$ 로 주어지며, 여기서 $n_\lambda$ 는 $\lambda$ 의 짝수 부분의 수이고 $m_\lambda = \prod_j (i_j!)$ 이다.
• $Z(\mathcal{NC}_n)$ 의 기저는 $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ 의 각 쌍대 대표자를 나타내는 다이어그램의 보완의 합으로 구성된다.
• 구성된 $Z(\mathcal{NC}_n)$ 의 기저에서의 곱셈 표는 자명하다: 서로 다른 두 기저 요소의 곱은 0이며, 기저 요소 자신과의 곱 역시 0이다.
• $\mathcal{A} = \mathcal{H}_n$ 과 $\mathcal{A} = \mathcal{NC}_n$ 에 대해 벡터 공간 $\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]_t$ 는 서로 동형이므로 $\dim Z(\mathcal{H}_n) = \dim Z(\mathcal{NC}_n)$ 이다.
• $\mathcal{H}_n$ 에서는 $T_i^2 = T_i$ 의 관계로 인해 쌍대 대표자에 속하는 다이어그램의 쌍대 대표자 집합이 $\mathcal{NC}_n$ 에 비해 더 크며, 이에 따라 기저를 구성하기 위해 더 복잡한 선형 조합이 필요하다.
• 그림 24 는 두께 총합이 3인 다이어그램의 보완의 합으로서 $Z(\mathcal{H}_3)$ 의 기저 요소를 보여주며, 이 구성의 비자명성을 나타낸다.