[논문 리뷰] The Central Limit Theorem for uniformly strong mixing measures

Nicolai Haydn|ArXiv.org|2009. 03. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 강혼합 시스템에서 가чёт한 무한 분할을 갖는 경우 정보 함수 $ I_n(x) = -\log\mu(A_n(x)) $에 대해 중심극한정리(CLT)와 로그정규분포를 최소한의 정규성 가정 하에 확립한다. 정보 함수의 네 번째 모멘트가 유한할 경우 다항 수렴 속도를 증명하며, 이는 이브라힘보프의 결과를 유한 분할을 초월하고 조건부 엔트로피의 게이브스 성질 또는 정규성 조건이 필요 없도록 확장한다.

ABSTRACT

The theorem of Shannon-McMillan-Breiman states that for every generating partition on an ergodic system, the exponential decay rate of the measure of cylinder sets equals the metric entropy almost everywhere (provided the entropy is finite). In this paper we prove that the measure of cylinder sets are lognormally distributed for strongly mixing systems and infinite partitions and show that the rate of convergence is polynomial provided the fourth moment of the information function is finite. Also, unlike previous results by Ibragimov and others which only apply to finite partitions, here we do not require any regularity of the conditional entropy function. We also obtain the law of the iterated logarithm and the weak invariance principle for the information function.

연구 동기 및 목표

• 이브라힘보프의 정보 함수에 대한 중심극한정리를 유한 분할과 조건부 엔트로피의 정규성 조건을 요구하지 않는 가чёт한 무한 분할을 갖는 시스템으로 일반화한다.
• 이전 연구에서 요구되었던 게이브스 성질 또는 라돈-니코다임 미분의 정규성 조건이 필요 없도록 정보 함수에 대한 중심극한정리의 조건을 제거한다.
• 정보 함수의 네 번째 모멘트가 유한할 조건 하에 $ I_n(x) $의 로그정규분포로의 수렴 속도를 다항식 수준으로 확립한다.
• 유일한 강혼합 시스템에서 정보 함수에 대해 반복로그법칙(LIL)과 약한 불변성 원리를 증명한다.
• 게이브스 유형 특성에 의존하지 않는 일반적인 유일한 강혼합 측도에 대해 유효한 프레임워크를 제공한다. 이는 무한 알파벳 위의 마르코프 체인을 포함한다.

제안 방법

• 강혼합 성질을 활용하여 시간 간격에 걸쳐 정보 함수 $ I_n(x) $를 독립적인 증분으로 분해하기 위해 커플링 방법을 사용한다.
• 꼬리 확률을 제어하고 분포 수렴을 보장하기 위해 임계값 $ \ell \sim n^\alpha $, $ \alpha < 1/2 $를 사용한 절단 기법을 적용한다.
• 블록 간의 의존도를 제어하기 위해 혼합 속도 $ \psi(\Delta) $를 사용하며, $ \psi(\Delta) $는 다항식 또는 지수식 감쇠를 보인다.
• 제품 공간 위의 랜덤 변수 $ Y $를 도입하여 블록 간의 의존도를 측정하고, 정보 증분의 합의 분산을 제어한다.
• L^2-노름 조건과 상관관계의 지수적 감쇠를 활용하여 정보 함수의 분산을 제한하며, 특히 마르코프 체인의 경우에 유리하다.
• 거의 확실한 불변성 원리 및 함수적 중심극한정리 기법을 적용하여 정규화된 정보 과정이 브라운 운동으로 약수렴함을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유일한 강혼합 시스템에서 가чёт한 무한 분할을 갖는 경우, 정보 함수 $ I_n(x) = -\log\mu(A_n(x)) $는 분포 수렴으로 로그정규분포로 수렴하는가?
• RQ2 정보 함수의 네 번째 모멘트가 유한할 경우, 로그정규분포로의 수렴 속도가 다항식 수렴으로 정량화될 수 있는가?
• RQ3 게이브스 성질 또는 조건부 엔트로피 함수의 정규성 조건 없이도 정보 함수에 대한 중심극한정리가 성립하는가?
• RQ4 이 일반적 설정에서 정보 함수에 대해 반복로그법칙과 약한 불변성 원리가 성립하는가?
• RQ5 무한 알파벳 위의 마르코프 체인에서 $ I_n(x) $의 점근적 분산은 무엇이며, 유한한 극한으로 수렴하는가?

주요 결과

• 유일한 강혼합 시스템에서 가чёт한 무한 분할을 갖는 경우, 정보 함수 $ I_n(x) $는 유한 분할이나 정규성 가정 없이도 점차적으로 로그정규분포로 수렴한다.
• 정보 함수의 네 번째 모멘트가 유한할 경우, 로그정규분포로의 수렴 속도는 다항식 수렴을 보이며, 구체적으로 $ \mathcal{O}(n^{-\kappa}) $ (어떤 $ \kappa > 0 $) 이다.
• 동일한 조건 하에 반복로그법칙이 성립함으로써, 변동의 거의 확실한 성장률이 확인된다.
• 약한 불변성 원리가 성립한다: 정규화된 과정 $ X_n(t,x) = (I_{[nt]}(x) - \mathbb{E}[I_{[nt]}]) / \sigma\sqrt{n} $ 이 표준 브라운 운동으로 약수렴한다.
• 무한 알파벳 위의 마르코프 체인에서 점근적 분산 $ \sigma^2 $ 는 전이확률의 로그비의 상관관계를 포함하는 수렴하는 무한급수로 주어진다.
• 마르코프 체인의 분산 표현식은 전이확률의 로그비의 제곱항(주요 항)과 장거리 상관관계에서 온 수정항으로 구성되며, 지수적 혼합성 덕분에 둘 다 수렴한다.