[논문 리뷰] The change of variable formula for the Riemann integral

Alberto Torchinsky|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 14.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리만 적분의 변수변환 공식에 대해 고전적인 리만 적분 이론과 진동 기반 기준을 사용하여 자가 포함적이고 초등적인 증명을 제공한다. 유계이고 리만 적분 가능한 함수 $\varphi$가 $[a,b]$에서 정의된 부정적분 $\Phi$를 가지며, $\Phi([a,b])$에서 유계인 함수 $f$에 대해, $f$가 $\Phi([a,b])$에서 리만 적분 가능할 조건은 $f(\Phi)\varphi$가 $[a,b]$에서 리만 적분 가능할 때이고, 이 경우 $\int_{\mathcal{I}} f = \int_{I} f(\Phi)\varphi$가 성립한다. 여기서 $\mathcal{I} = [\Phi(a), \Phi(b)]$이다. 이 결과는 프라이스와 우허의 리만-스틸티jes 적분 일반화를 통해 케스텔만의 치환 정리의 일반화이다.

ABSTRACT

This note concerns the general formulation by Preiss and Uher of Kestelman's influential result pertaining the change of variable, or substitution, formula for the Riemann integral.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 측도 이론 도구를 피하면서도 리만 적분의 변수변환 공식에 대해 자가 포함적이고 초등적인 증명을 제공하는 것.
• 프라이스와 우허의 리만-스틸티져스 적분 일반화 틀 안에서 케스텔만의 치환 결과를 일반화하는 것.
• $f$가 이미지 구간 $\mathcal{I} = \Phi([a,b])$에서 리만 적분 가능할 조건을 $f(\Phi)\varphi$가 $[a,b]$에서 적분 가능할 조건으로 필수적이고 충분한 조건으로 설정하는 것.
• $\varphi$가 유계가 아니더라도 $f(\Phi)\varphi$가 여전히 리만 적분 가능할 경우, 표준 치환 공식이 성립함을 보여주는 것.

제안 방법

• 연속적이고 증가하는 함수 $\Phi$를 사용하여 리만-스틸티져스 적분 프레임워크를 정의하고, $\Phi$에 대한 상한합과 하한합을 구성한다.
• 리만-스틸티져스 적분 가능성의 실용적 특성: 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, $U(f,\Phi,\mathcal{P}) - L(f,\Phi,\mathcal{P}) \leq \varepsilon$를 만족하는 분할 $\mathcal{P}$가 존재하면 $f$는 $\Phi$에 대해 적분 가능하다.
• 진동 기반 기준 적용: $f$가 $\Phi$에 대해 리만-스틸티져스 적분 가능할 조건은 어떤 분할 $\mathcal{P}$에 대해 $\sum_k \text{osc}(f, I_k) \cdot (\Phi(x_{k,r}) - \Phi(x_{k,l})) \leq \varepsilon$가 성립하는 것이다.
• 분할 $[a,b]$를 $\Phi$를 통해 올려 $\mathcal{I} = \Phi([a,b])$의 분할 $\mathcal{Q}'$를 구성하고, $f$, $\varphi$, $\Phi$의 변동성에 대한 극한을 사용하여 $\mathcal{Q}'$에서의 진동 합을 제어한다.
• 중간값 정리를 사용하여 $[a,b]$의 구간과 그 이미지인 $\mathcal{I}$의 구간 간의 관계를 설정하고, $[a,b]$에서 $f(\Phi)\varphi$의 리만 합이 $\mathcal{I}$에서 $f$의 리만 합과 대응됨을 보여준다.
• 진동 합이 분할을 세밀하게 할수록 임의로 작아지므로, 이미지 분할에 대한 진동 합이 작아짐을 보여주어 적분 가능성과 리만 합의 수렴성을 입증함으로써 핵심 등식 $\int_{\mathcal{I}} f = \int_{I} f(\Phi)\varphi$를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만일 $\Phi$가 유계이고 리만 적분 가능한 함수 $\varphi$의 부정적분이라면, $\mathcal{I} = \Phi([a,b])$에서 함수 $f$가 리만 적분 가능할 조건은 무엇인가?
• RQ2 $f(\Phi)\varphi$가 $[a,b]$에서 리만 적분 가능할 조건은 무엇인가?
• RQ3 변수 $x \mapsto \Phi(x)$에 따른 치환에서, $\int_{\mathcal{I}} f$와 $\int_{I} f(\Phi)\varphi$ 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 리만 적분 이론에만 기반하여 $\varphi$가 유계이거나 $\Phi$가 $C^1$이 아니어도 변수변환 공식을 증명할 수 있는가?
• RQ5 진동 기반 기준을 어떻게 활용하여 치환의 맥락에서 적분 가능성과 리만 합의 수렴성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• $f$가 $\mathcal{I} = [\Phi(a), \Phi(b)]$에서 리만 적분 가능할 조건은 $f(\Phi)\varphi$가 $[a,b]$에서 리만 적분 가능할 조건이다.
• 두 적분이 모두 존재할 경우, 변수변환 공식이 성립한다: $\int_{\mathcal{I}} f = \int_{I} f(\Phi)\varphi$.
• 증명은 측도 이론이나 르베그 적분을 사용하지 않고, 리만 적분의 기본 성질, 상한합과 하한합, 진동 기준에만 의존한다.
• 분할을 세밀하게 할수록 진동 합 $\sum_k \text{osc}(f, \mathcal{I}_k) \cdot |\mathcal{I}_k|$는 임의로 작아지므로, $f$가 $\mathcal{I}$에서 적분 가능함을 보장한다.
• $\varphi$가 유계가 아니어도, $f(\Phi)\varphi$가 $[a,b]$에서 여전히 리만 적분 가능할 경우 이 결과는 적용 가능하다.
• 예시로 $[0,1]$에서 $\Phi(x) = x^{1-\varepsilon}$, $\varphi(x) = (1-\varepsilon)x^{-\varepsilon}$일 때, $f$가 0 근처에서 $x^\beta$의 정도이면서 $\beta \geq \varepsilon/(1-\varepsilon)$일 경우 치환 공식이 성립함을 보여준다.