[논문 리뷰] The Chow Ring of the Moduli Space of Abelian Threefolds

G.B.M. van der Geer|UvA-DARE (University of Amsterdam)|1997. 02. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 주로 편평한 아벨 3차원 다양체의 모듈리 공간의 델로나이-보로노이 컴팩티피케이션 $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 초링 구조를 결정한다. 이는 수준 커버에서의 등변 클래스를 사용하고 $\overline{\mathcal{M}}_3$의 초링과의 비교를 통해 이루어지며, 초링은 $\mathbb{Q}$-대수로서 $\lambda_1$, $\lambda_3$, $\sigma_1$ 세 개의 클래스에 의해 생성되며, 명시적인 관계를 만족한다. 이 관계에는 $\lambda_1^4 - 8\lambda_3\lambda_1 = 0$, $\lambda_1^2\sigma_1 = 0$, $\sigma_1^3 = 2016\lambda_3$, $\lambda_3\sigma_1 = 0$ 등이 포함된다. 이는 $\tilde{\mathcal{A}}_3$에 대한 타우토로지적 초링의 완전한 기술을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we determine the structure of the Chow ring of the Delaunay-Voronoi compactification $ ilde{\cal A}_3$ of the moduli space of principally polarized abelian threefolds. This compactification was introduced by Namikawa and studied by Tsushima. We use equivariant classes on level coverings of $ ilde{\cal A}_3$. We also compare this ring with the Chow ring of the moduli space of stable genus 3 curves as determined by Faber.

연구 동기 및 목표

• 주로 편평한 아벨 3차원 다양체의 모듈리 공간의 델로나이-보로노이 컴팩티피케이션 $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 초링 구조를 규명하는 것.
• 수준 커버 $\tilde{\mathcal{A}}_3$에서의 등변 클래스를 사용하여 초군의 랭크를 제한하고 교차 수를 계산하는 것.
• $\overline{\mathcal{M}}_3$의 알려진 초링과의 비교를 통해 $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 초링을 분석하고, 2차 Torelli 사상에 의해 연결되는 것.
• $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 타우토로지적 초링을 $\mathbb{Q}$-대수로서 명시적인 생성자와 관계로 완전히 기술하는 것.

제안 방법

• 수준 $\ell$ 커버 $\mathcal{A}_3[\ell]$에서의 등변 초클래스를 사용하여 $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 초링을 분석하고, $Sp(6,\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$의 작용을 활용하는 것.
• 2차 Torelli 사상 $t: \overline{\mathcal{M}}_3 \to \tilde{\mathcal{A}}_3$를 적용하여 $\overline{\mathcal{M}}_3$와 $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 초링을 연결하는 것.
• $CH^3(\overline{\mathcal{M}}_3)$의 타우토로지적 클래스의 $t_*$ 푸시포워드를 $CH^3(\tilde{\mathcal{A}}_3)$로 계산하며, $CH^*(\overline{\mathcal{M}}_3)$의 알려진 관계를 활용하는 것.
• 호지 번들의 체른 클래스 $\lambda_i$와 경계 스트라타 클래스 $\sigma_i$를 사용하여 타우토로지적 초링의 구조를 정의하는 것.
• 정확한 수열과 캐논컬 부분 컴팩티피케이션 $\tilde{\mathcal{A}}_3^{(1)}$를 비교함으로써 초군의 랭크를 유계화하는 것. 이는 다면체 분해에 영향을 받지 않는다는 점에서 중요하다.
• 교차 이론적 점검을 통해 관계를 검증하는 것. 특히 $504\lambda_3 = 2\lambda_1\sigma_2 + t_*([(c)]_Q) + 2B_3$와 같은 항등식을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 델로나이-보로노이 컴팩티피케이션 $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 초링은 어떤 구조를 가지는가? 이는 주로 편평한 아벨 3차원 다양체의 모듈리 공간의 컴팩티피케이션으로서의 성질에 기반한다.
• RQ2 타우토로지적 클래스 $\lambda_1$, $\lambda_3$, $\sigma_1$는 $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 초링을 어떻게 생성하며, 어떤 관계를 만족하는가?
• RQ3 Torelli 사상과 $\overline{\mathcal{M}}_3$의 알려진 초링을 통해 $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 초링을 어느 정도 기술할 수 있는가?
• RQ4 $\sigma_1^g = \zeta(1-2g)\lambda_g + \text{classes on } \tilde{\mathcal{A}}_g^{t \geq 2}$ 형태의 타우토로지적 관계가 초링에서 성립하는가? 이는 코homology에서 관찰된 바와 유사하다.

주요 결과

• 초링 $\tilde{\mathcal{A}}_3$는 $\lambda_1$, $\lambda_3$, $\sigma_1$에 의해 생성되는 $\mathbb{Q}$-대수이며, $\sigma_1$는 랭크 1의 분리에 해당하는 경계 divisor $D$의 클래스이다.
• 초링은 다음 관계를 만족한다: $\lambda_1^4 - 8\lambda_3\lambda_1 = 0$, $\lambda_1^2\sigma_1 = 0$, $\sigma_1^3 = 2016\lambda_3$, $\lambda_3\sigma_1 = 0. 이는 초링의 전체적인 구조를 완전히 결정한다.
• Torelli 사상 $t$에 의한 $\overline{\mathcal{M}}_3$의 타우토로지적 클래스의 푸시포워드는 명시적으로 계산되었으며, $t_*(\delta_{00}) = 2[0,0,0,1]$, $t_*(\xi_0) = 2[0,4,-1,1]$, $t_*(\eta_1) = 6[\tilde{A}_{2,1}]$ 등이 포함된다.
• 관계 $504\lambda_3 = 2\lambda_1\sigma_2 + t_*([(c)]_Q) + 2B_3$는 검증되었으며, 이는 Faber의 $CH^*(\overline{\mathcal{M}}_3)$에서의 관계와 일관성을 보인다.
• $\tilde{\mathcal{A}}_3$의 초링은 $\mathbb{Q}[\lambda_1, \lambda_3, \sigma_1]/(\lambda_1^4 - 8\lambda_3\lambda_1, \lambda_1^2\sigma_1, \sigma_1^3 - 2016\lambda_3, \lambda_3\sigma_1)$와 동형이며, 이는 완전한 기술을 제공한다.
• 캐논컬 부분 컴팩티피케이션 $\tilde{\mathcal{A}}_3^{(1)}$는 핵심 경계 divisor $D$를 포함하고 있으며, 다면체 분해에 영향을 받지 않기 때문에 기초 도구로 사용되었다.