[논문 리뷰] The clone generated by the median functions

Michael Pinsker|ArXiv.org|2004. 01. 10.

Optimization and Mathematical Programming인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형적으로 순서가 지정된 집합 위에서 임의의 홀수 차수의 중앙값 함수로 생성된 클론이 모든 홀수 차수의 중앙값 함수를 포함함을 증명하며, 중앙값 함수가 상호로 생성 가능하다는 것을 보여준다. 핵심 결과는 하나의 중앙값 함수로 생성된 클론이 최소이며, 기저 집합의 크기에 관계없이 모든 홀수 차수의 중앙값을 포함한다는 것이다.

ABSTRACT

Let X be a linearly ordered set of arbitrary size (finite or infinite). Natural functions on such a set one can define using the linear order include maximum, minimum and median functions. While it is clear what the clone generated by the maximum or the minimum looks like, this is not obvious for median functions. We show that every clone on X contains either no median function or all median functions, that is, the median functions generate each other.

연구 동기 및 목표

• 선형적으로 순서가 지정된 집합 위에서 중앙값 함수로 생성된 클론의 구조를 규명하는 것.
• 특히 최대/최소 함수와의 비교를 통해 중앙값 함수가 클론 내에서 상호로 생성 가능한지 조사하는 것.
• 중앙값 함수로 생성된 클론 내에서 최소 또는 비최소인 함수를 특성화하는 것.
• 홀수 차수의 중앙값 함수가 클론 생성 과정에서 수행하는 역할과 그 상호 정의 가능성에 대한 명확화

제안 방법

• n-튜플에서 k번째로 작은 원소를 $ m^n_k $로 정의하고, 홀수 n에 대해 $ \operatorname{med}_n = m^n_{(n+1)/2} $로 정의한다.
• n이 k로 거의 나누어떨어지는 경우, 나머지 조건에 기반하여 변수 식별을 사용해 $ \operatorname{med}_k $를 $ \operatorname{med}_n $으로 구성한다.
• b-진 중앙값 함수를 사용하여 더 큰 중앙값 함수를 더 작은 것들로부터 재귀적으로 구성하는 방법을 도입한다.
• 반복 관계 $ r_{j+1} > r_j (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}r_j^2 - \frac{1}{n_j-1}) $를 적용하여 $ r_j \to 1 $임을 보이고, 이를 통해 중앙값 구성이 가능함을 증명한다.
• $ \operatorname{med}_3 \in \langle \operatorname{med}_n \rangle $임을 증명한 후, 임의의 홀수 $ k \geq 3 $로 확장한다.
• k ≤ ⌊n/2⌋ 또는 k ≥ ⌈n/2⌉일 때 $ \min_2 $ 및 $ \max_2 $가 $ m^n_k $로부터 정의 가능하다는 사실을 이용하여, 비극단적 $ m^n_k $의 비최소성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 중앙값 함수로 생성된 클론이 모든 다른 홀수 차수의 중앙값 함수를 포함하는가?
• RQ2 다른 홀수 차수의 중앙값 함수들이 합성과 변수 식별을 통해 상호 정의 가능한가?
• RQ3 함수 $ m^n_k $ 중에서 어떤 것이 최소이며, 그들이 생성하는 클론이 최소가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 중요 함수가 더 큰 중앙값 함수를 생성하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 짝수 n에 대해 정의된 하한 및 상한 중앙값(예: $ \operatorname{med}^{\text{low}}_n = m^n_{n/2} $)은 진정한 홀수 차수 중앙값과 정의 가능성 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 임의의 홀수 차수 중앙값 함수 $ \operatorname{med}_n $로 생성된 클론은 기저 집합의 크기에 관계없이 모든 홀수 차수 중앙값 함수 $ \operatorname{med}_k $ (k ≥ 3, 홀수)를 포함한다.
• $ \operatorname{med}_3 $로 생성된 클론은 최소이며, $ \operatorname{med}_3 \in \langle \operatorname{med}_n \rangle $ 이므로 $ \operatorname{med}_n $으로 생성된 클론 역시 최소이다.
• 임의의 홀수 $ n \geq 3 $에 대해, 변수 식별을 통해 $ \operatorname{med}_3 $를 $ \operatorname{med}_n $으로 구성할 수 있다: $ \operatorname{med}_3(x_1,x_2,x_3) = \operatorname{med}_n(x_1,\dots,x_1,x_2,\dots,x_2,x_3,\dots,x_3) $, 여기서 각 변수는 $ \lfloor (n-1)/2 \rfloor $ 또는 $ \lfloor (n-1)/2 \rfloor + 1 $번 반복된다.
• 2 ≤ k ≤ ⌊n/2⌋ 또는 ⌈n/2⌉ < k < n 인 함수 $ m^n_k $는 최소가 아니며, 각각 $ \min_2 $ 또는 $ \max_2 $를 생성하기 때문이다.
• 함수 $ m^n_k $ 중에서 유일한 최소 함수는 최댓값($ k=n $), 최솟값($ k=1 $), 그리고 홀수 차수 중앙값($ k=(n+1)/2 $)이다.
• 짝수 n에 대한 하한 중앙값 $ \operatorname{med}^{\text{low}}_n = m^n_{n/2} $는 홀수 차수 중앙값으로부터 정의 가능하지 않으며, $ \operatorname{med}^{\text{low}}_4 $는 어떤 홀수 차수 중앙값도 생성할 수 없다.