[논문 리뷰] The coalescent point process of branching trees

Amaury Lambert, Lea Popovic|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 12.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반 분기 과정을 위한 다중성을 고려한 공통 조상 점과정(coalescent point process)을 제안하며, Bienaymé–Galton–Watson 트리의 단조 증가 평면 매립을 이용해 계통수를 표현한다. 이 과정이 점측도의 마코프 과정임을 증명하고, 연속 상태 분기 과정과 관련된 한계 과정으로 수렴하는 불변 원리(invariance principle)를 제시한다. 선형 분수형 경우에 대해 전이 함수가 명시적으로 구해지고, 분기 길이가 i.i.d.임을 보인다.

ABSTRACT

We define a doubly infinite, monotone labeling of Bienayme-Galton-Watson (BGW) genealogies. The genealogy of the current generation backwards in time is uniquely determined by the coalescent point process $(A_i; i\ge 1)$, where $A_i$ is the coalescence time between individuals i and i+1. There is a Markov process of point measures $(B_i; i\ge 1)$ keeping track of more ancestral relationships, such that $A_i$ is also the first point mass of $B_i$. This process of point measures is also closely related to an inhomogeneous spine decomposition of the lineage of the first surviving particle in generation h in a planar BGW tree conditioned to survive h generations. The decomposition involves a point measure $ ho$ storing the number of subtrees on the right-hand side of the spine. Under appropriate conditions, we prove convergence of this point measure to a point measure on $\mathbb{R}_+$ associated with the limiting continuous-state branching (CSB) process. We prove the associated invariance principle for the coalescent point process, after we discretize the limiting CSB population by considering only points with coalescence times greater than $\varepsilon$.

연구 동기 및 목표

• 일반 분기 과정(이산 및 연속 상태 분기 과정 포함)에 대해 일관되고 유한 표본 추출 가능한 공통 조상 점과정을 정의하기.
• 표준 공통 조상 과정이 분기 집단에서 비마코프 성질을 띠는 문제를 해결하기 위해, 다중성을 고려한 조상 관계를 추적하는 점측도의 마코프 과정을 도입하기.
• 공통 조상 점과정과 연속 상태 분기 과정의 높이 과정 사이의 연결 고리를 설정하기, 특히 퇴행 깊이를 통해.
• 이산화된 공통 조상 과정에 대해 불변 원리를 증명하여, CSB 과정과 관련된 한계 점과정으로 수렴함을 보이기.
• 공통 조상 과정의 전이 함수에 대한 명시적 공식을 유도하고, 선형 분수형 배우자 분포와 같은 특수 케이스에서 그 법칙을 특성화하기.

제안 방법

• 비유한 단조 증가 평면 매립을 이용해 Bienaymé–Galton–Watson 트리의 개체를 세대와 색인으로 표기하여 조상 경로가 교차하지 않도록 보장하기.
• 공통 조상 점과정 (Ai; i ≥ 1)을 정의하며, 이는 현재 세대(세대 0)의 연속된 개체 i와 i+1의 가장 최근 공통 조상에 도달하는 시간을 나타낸다.
• 각 Bi는 개체 i+1의 포함된 조상 라인을 점질량으로 기록하는 마코프 과정의 점측도 (Bi; i ≥ 1)를 도입하며, 이는 산맥 위의 하위수목의 깊이와 다중성을 나타낸다.
• 평면 BGW 트리에서 첫 번째 생존 입자가 h 세대 동안 생존하도록 조건화된 경우, 선형성의 비균일한 산맥 분해를 이용하며, 오른쪽 하위수목을 추적하는 점측도 ρ를 도입한다.
• 오직 공통 조상 시간이 ε보다 큰 경우만 고려하는 이산화를 적용하여, 한계 과정 (Bεi; i ≥ 1)을 도출하며, 이는 고정된 수준 아래에서 높이 과정의 퇴행 깊이(-excursion depths)에 해당한다.
• 마코프 체인 (Di; i ≥ 1)의 전이 확률을 이용해 공통 조상 과정의 법칙을 유도하며, 특히 첫 번째 통과 시간 Ai = h 조건 하에서 선형 분수형 케이스에서 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 분기 과정에 대해 일관되고 유한 표본 추출 가능한 공통 조상 과정을 정의할 수 있는가? 이 과정은 다중성을 고려한 계통수 관계를 포괄할 수 있는가?
• RQ2 다중성을 고려한 공통 조상 점과정 (Bi; i ≥ 1)은 마코프 성질을 가지는가? 만약 그렇다면, 그 전이 함수를 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 적절한 스케일링 하에서 공통 조상 과정은 연속 상태 분기 과정과 관련된 한계 과정으로 수렴하는가?
• RQ4 선형 분수형 배우자 분포 케이스에서 공통 조상 시간 (Ai; i ≥ 1)의 분포는 무엇이며, 이들은 i.i.d.인가?
• RQ5 전체 집단의 가장 최근 공통 조상에 도달하는 시간은 부분적 분기 과정에서 Yaglom 준정적분포와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 선형 분수형 배우자 분포 케이스에서 매개수 (a,b)를 가질 때, 공통 조상 분기 길이 (Ai; i ≥ 1)는 i.i.d.이며, a ≠ b이면 P(A1 > n) = (b − a)/(b m^n − a), a = b이면 P(A1 > n) = (1 − a)/(n a + 1 − a)이다.
• ε > 0에 대해 한계 공통 조상 점과정 (Bεi; i ≥ 1)은 점질량의 마코프 체인이며, 산맥 분해와 높이 과정의 퇴행 깊이로부터 유도된 명시적 전이 함수를 가진다.
• 전체 집단의 가장 최근 공통 조상에 도달하는 시간 U의 법칙은 Yaglom 준정적분포를 따르며, (U, V)의 공동 법칙이 특성화되어 있다. 여기서 V는 U 이전까지의 하위집단의 공통 조상 시간이다.
• V = n ≥ 1 조건 하에서, 첫 번째 개체와 공통 조상이 되는 하위집단의 크기 U는 ζn ≥ 2 조건 하에서 Zn의 분포와 같다. Yaglom 분포의 생성함수는 a(s) = P(V = 0)s + Σn≥1 P(V = n) E(sZn | ζn ≥ 2)를 만족한다.
• 부분적 선형 분수형 케이스(a > b)에서 Yaglom 분포는 실패 확률 b/a인 기하분포이며, P(Ai = ∞) = 1 − b/a이다. 이는 U가 Ai = ∞가 되는 첫 번째 i임과 일관된다.
• 다중성을 고려한 공통 조상 과정 (Bi; i ≥ 1)은 마코프 성질을 가지며, 그 전이 함수는 기저 마코프 체인 (Di; i ≥ 1)의 전이 확률로부터 명시적으로 유도된다.