[논문 리뷰] The coarea formula for Sobolev mappings

Jan Malý, David Swanson외 1명|ArXiv.org|2001. 12. 01.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 22인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $p > m$ 인 $W^{1,p}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)$ 내의 소볼레프 매핑에 대해 페더러의 공역 수식을 확장하며, 기울기가 레이스터 공간 $L^{m,1}$ 에 속할 경우를 포함하여, 이러한 매핑의 그래프가 $\mathcal{H}^n$-직선화 가능하고, 공역 및 면적 수식이 거의 확실히 성립함을 증명한다. 주요 기여는 리프쉬츠 매핑을 초월하여 공역 수식의 타당성을 확립하는 데, 그래프의 직선화 가능성을 중심 분석 도구로 사용한 것이다.

ABSTRACT

We extend Federer's coarea formula to mappings $f$ belonging to the Sobolev class $W^{1,p}(R^n;R^m)$, $1 \le m < n$, $p>m$, and more generally, to mappings with gradient in the Lorentz space $L^{m,1}(R^n)$. This is accomplished by showing that the graph of $f$ in $R^{n+m}$ is a Hausdorff $n$-rectifiable set.

연구 동기 및 목표

• 페더러의 공역 수식을 리프쉬츠 매핑을 초월하여 더 넓은 범위의 소볼레프 매핑으로 확장하기 위해.
• 기울기가 레이스터 공간 $L^{m,1}$ 에 속하고 $p > m$ 인 $f \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)$ 에 대해 공역 수식의 타당성을 확립하기 위해.
• 이러한 매핑의 그래프가 $\mathcal{H}^n$-직선화 가능함을 증명하여 기하측도론 도구의 적용을 가능하게 하기 위해.
• 특히 $m > 1$ 인 경우에 대해 이전 결과들을 단순화하고 일반화하는 통합적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 홀더 연속성을 사용하여 $p = m$ 의 경계 사례를 다루며, 이러한 정규성 조건 하에서 공역 수식이 성립함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 기울기가 $p > m$ 이거나 $|\nabla f| \in L^{m,1}$ 인 경우, $f \in W^{1,p}(\Omega; \mathbb{R}^m)$ 의 그래프 $\mathcal{G}_f$ 가 가чёт한 $\mathcal{H}^n$-직선화 가능함을 증명하기 위해.
• 공역 수식을 유도하기 위한 핵심 중간 단계로 면적 수식 $\mathcal{H}^n(\bar{f}(E)) = \int_E |J_n \bar{f}(x)| \, dx$ 를 사용하기 위해.
• $W^{1,m}$-매핑과 직교 투영의 맥락에서 푸비니 유형의 추론을 적용하여 투영에 의한 이미지의 측도를 분석하기 위해.
• 증명의 기초 도구로, 직선화 가능한 집합 사이의 리프쉬츠 매핑에 대한 공역 수식을 활용하기 위해.
• $\mathcal{H}^n$-직선화 가능성이 실패할 경우를 대비해, 경계 사례 $p = m$ 를 다루기 위해 적분 기하 측도 $\mathcal{I}^n$ 을 사용하기 위해.
• 기하측도론의 결과, 특히 $\mathcal{H}^q$-직선화 가능성 이론과 애매한 부분에 대한 야코비안의 행동을 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소볼레프 매핑 $W^{1,p}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)$ 에 대해 $p > m$ 인 경우 공역 수식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 기울기가 레이스터 공간 $L^{m,1}(\mathbb{R}^n)$ 에 속할 경우 공역 수식이 성립하는가?
• RQ3 소볼레프 매핑 $f \in W^{1,p}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)$ 의 그래프가 동일한 조건 하에 $\mathcal{H}^n$-직선화 가능한가?
• RQ4 홀더 연속성 조건 하에서 $p = m$ 의 경계 사례로 공역 수식을 확장할 수 있는가?
• RQ5 기하측도론에서 $\mathcal{H}^n$-직선화 가능성이 실패할 경우, 적분 기하 측도 $\mathcal{I}^n$ 이 어떻게 Hausdorff 측도를 대체하는가?

주요 결과

• 기울기가 $p > m$ 이거나 $p \geq m = 1$ 인 경우, $f \in W^{1,p}_{\mathrm{loc}}(\Omega; \mathbb{R}^m)$ 이고 정확하게 표현된 경우, 공역 수식이 성립한다.
• 이러한 매핑의 그래프 $\mathcal{G}_f$ 는 가чёт한 $\mathcal{H}^n$-직선화 가능하며, 기하측도론 도구의 사용을 가능하게 한다.
• $|\nabla f| \in L^{m,1}(\Omega)$ 인 경우, 공역 및 면적 수식이 성립하며, 더 세밀한 적분 가능성 척도로 결과를 확장한다.
• $p = m$ 의 경계 사례에서는 $f$ 가 홀더 연속일 경우 공역 수식이 성립하며, 그래프는 $\mathcal{I}^n$-직선화 가능하다.
• 동일한 조건 하에 모든 가측성 집합 $E \subset \Omega$ 에 대해 면적 수식 $\mathcal{H}^n(\bar{f}(E)) = \int_E |J_n \bar{f}(x)| \, dx$ 가 성립한다.
• $\mathcal{L}^n(N) = 0$ 이면, 모든 $V \in \mathbf{G}(n+m,n)$ 에 대해 $\mathcal{H}^n(P_V \circ \bar{f}(N)) = 0$ 이며, 이는 $\mathcal{I}^n(\bar{f}(N)) = 0$ 을 의미한다.