[논문 리뷰] The Cobb-Douglas production function revisited

Roman G. Smirnov, Kunpeng Wang|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 11.

Economic theories and models인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고전적인 코브-도거러 생산함수를 이중 해밀턴 동역학계 접근법을 사용하여 재검토하고, 1899–1922년 미국 제조업 데이터와의 일치성을 검증한다. R 프로그래밍을 통한 모델 적합을 통해 유도된 탄성 매개변수와 총요소생산성은 코브와 도거러의 원래 추정치와 매우 유사하게 확인되었으며, 현대 분석 방법과 역사적 경제 데이터 간의 일관성을 입증한다.

ABSTRACT

Charles Cobb and Paul Douglas in 1928 used data from the US manufacturing sector for 1899-1922 to introduce what is known today as the Cobb-Douglas production function that has been widely used in economic theory for decades. We employ the R programming language to fit the formulas for the parameters of the Cobb-Douglas production function generated by the authors recently via the bi-Hamiltonian approach to the same data set utilized by Cobb and Douglas. We conclude that the formulas for the output elasticities and total factor productivity are compatible with the original 1928 data.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 코브-도거러 생산함수를 현대적 이중 해밀턴 동역학계 프레임워크를 사용하여 재평가하기.
• 이중 해밀턴 접근법에서 유도된 탄성 상호교환율과 총요소생산성에 대한 분석 공식이 1928년 미국 제조업의 원래 데이터와 호환되는지 테스트하기.
• 노동, 자본, 생산량의 지수적 성장 가정을 통계적 적합을 통해 R 프로그래밍으로 검증하기.
• 사토의 동역학적 유도가 동시에 동일한 기술적 변화를 요구하는 제한 조건 없이도 코브-도거러 형태를 도출할 수 있음을 보여주기.
• 고도의 수학적 모델링과 20세기 초의 실증 경제 데이터 사이에 정량적 연결을 제공하기.

제안 방법

• 노동(L), 자본(K), 생산량(Y)을 지수적 성장 과정으로 모델링하는 세 개의 결합된 미분방정식 시스템을 수립: $ x_i = c_i \exp(b_i t) $, $ i=1,2,3 $.
• 시스템을 선형화하기 위해 로그 변환을 적용: $ \ln x_i = C_i + b_i t $, R에서 최소 제곱법을 사용한 선형 회귀가 가능해짐.
• 이중 해밀턴 구조를 적용하여 첫 번째 적분 $ H_1 $, $ H_2 $, $ H_3 = H_1 - H_2 $를 도출하고, 이로부터 코브-도거러 형태 $ Y = A L^\alpha K^\beta $ 를 유도함.
• 탄성 매개변수를 $ \alpha = \frac{a-1}{a-b} $, $ \beta = \frac{1-b}{a-b} $ 를 통해 유도함. 여기서 $ a $ 및 $ b $ 는 성장률 $ b_1, b_2, b_3 $ 에서 유도됨.
• 총요소생산성(TFP)을 $ A = \exp\left( \frac{H_3}{a-b} \right) $ 를 통해 추정함. $ H_3 $ 는 데이터로부터 계산되며 흐름 동안 일정함.
• 모델 적합도를 조정된 결정계수(0.9934)와 세 시간계열에 대한 잔차 분석을 통해 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 해밀턴 접근법은 원래 1928년 코브-도거러 실증 연구와 일치하는 탄성 매개변수와 총요소생산성 추정치를 재현할 수 있는가?
• RQ2 1899년에서 1922년까지의 역사적 미국 제조업 데이터와 노동, 자본, 생산량의 지수적 성장 가정이 호환되는가?
• RQ3 이중 해밀턴 프레임워크에서 도출된 코브-도거러 형태 $ Y = A L^\alpha K^\beta $ 는 사토의 동시에 동일한 기술적 변화를 가정하는 제한 조건 없이도 실증 데이터와 일치하는가?
• RQ4 현대 통계 방법을 사용하여 원래 데이터에서 추정된 탄성 상호교환율 $ \alpha $, $ \beta $, 총요소생산성 $ A $ 의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ5 로그 인덱스 데이터의 생산량, 노동, 자본에 대한 선형화 모델의 적합도는 결정계수와 잔차 분산으로 측정했을 때 얼마나 우수한가?

주요 결과

• 자본에 대한 적합 모델은 조정된 결정계수 0.9934를 기록하여 로그 데이터에 대해 매우 우수한 선형 적합을 보였다.
• 추정된 성장률은 $ b_1 = 0.0255 $ (노동), $ b_2 = 0.0647 $ (자본), $ b_3 = 0.0359 $ (생산량)였으며, 이는 조건 $ b_2 > b_3 > b_1 $ 를 만족하여 이론적 프레임워크를 지지함.
• 노동에 대한 탄성 상호교환율은 $ \alpha = 0.2659 $, 자본에 대한 것은 $ \beta = 0.7341 $ 로 도출되었으며, 코브-도거러 형태의 요구 조건인 합이 1.0000이 되도록 정확히 충족됨.
• 총요소생산성은 $ A = 1.00997 \approx 1.01 $ 으로 추정되었으며, 코브와 도거러의 1928년 연구에서의 약 1.00과 매우 유사하게 일치함.
• $ H_3 $ 의 데이터 포인트 간 분산은 0.5923, 평균은 0.1365였으며, 이는 첫 번째 적분의 일관성과 이중 해밀턴 유도의 타당성을 확인함.
• 결과적으로 이중 해밀턴 접근법은 사토의 동시에 동일한 기술적 변화를 가정하는 제한 조건 없이도 일관된 매개변수 추정치를 도출함을 확인함.