[논문 리뷰] The cohomology of abelian Hessenberg varieties and the Stanley-Stembridge conjecture

Megumi Harada, Martha Precup|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 Tymoczko의 도트 작용을 통해 아벨 regular semisimple Hessenberg 다양체의 cohomology에서 Sn-표현에 대한 귀납적 공식을 수립하여, 그로 인해 그레디드 스탠리-스템브리지 추측이 아벨 경우에 대해 성립함을 증명한다. 핵심 결과는 더 작은 Hessenberg 다양체에 대한 cohomology 클래스의 재귀적 분해로, 이는 표reib로 표현 분해에서 모든 계수들이 비음이 아닌 정수라는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We define a subclass of Hessenberg varieties called abelian Hessenberg varieties, inspired by the theory of abelian ideals in a Lie algebra developed by Kostant and Peterson. We give an inductive formula for the $S_n$-representation on the cohomology of an abelian regular semisimple Hessenberg variety with respect to the action defined by Tymoczko. Our result implies that a graded version of the Stanley-Stembridge conjecture holds in the abelian case, and generalizes results obtained by Shareshian-Wachs and Teff. Our proof uses previous work of Stanley, Gasharov, Shareshian-Wachs, and Brosnan-Chow, as well as results of the second author on the geometry and combinatorics of Hessenberg varieties. As part of our arguments, we obtain inductive formulas for the Poincaré polynomials of regular abelian Hessenberg varieties.

연구 동기 및 목표

• . 이 연구의 목적은 특정 클래스의 Hessenberg 다양체에 대해 그레디드 스탠리-스템브리지 추측을 증명하는 것이다.
• . 문제는 regular semisimple Hessenberg 다양체의 cohomology가 대칭군 Sn의 tabloid 표현의 비음이 아닌 조합으로 분해되는가를 보이는 것이다.
• . 목적은 cohomology 환의 Sn-표현 분해에서 계수에 대한 귀납적 공식을 수립하는 것이다.
• . 연구는 gl(n,C)에서의 아벨 아이디얼을 통해 정의된 아벨 Hessenberg 다양체에 집중하여 이러한 분해를 달성한다.
• . 목표는 Shareshian-Wachs와 Teff의 이전 결과를 기하학적 및 조합 기법(비순환 방향과 섬소 집합)을 사용하여 일반화하는 것이다.

제안 방법

• . 저자들은 Hessenberg 함수 h에 대해 관련 아이디얼 Ih가 일반선형대수 gl(n,C)에서 아벨일 때 아벨 Hessenberg 다양체를 정의한다.
• . Tymoczko의 도트 작용을 사용하여 regular semisimple Hessenberg 다양체의 cohomology에 Sn-작용을 정의한다.
• . 이 방법은 불가비교 그래프 Γh의 비순환 방향을 그들의 섬소 집합, 특히 최대 섬소 집합으로 분해하는 데 의존한다.
• . 부분집합 T ∈ SK2(Γh) (최대 2-섬소 집합의 집합)를 통해 Γh의 방향과 ΓhT의 방향을 연결시켜 귀납적 공식을 구성한다.
• . 각 T에 관련된 degree shift deg(T)를 사용하여 regular 아벨 Hessenberg 다양체의 Poincaré 다항식을 유도적으로 계산한다.
• . n에 대한 귀납법을 사용하여 증명이 진행되며, h가 아벨일 경우 각 T ∈ SK2(Γh)에 대해 관련 hT도 아벨임을 이용하여 귀납 가정이 유지됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 아벨 regular semisimple Hessenberg 다양체의 cohomology는 Sn의 tabloid 표현 Mλ의 비음이 아닌 조합으로 분해되는가?
• RQ2 . H2i(Hess(S,h)) = ∑λ⊢n cλ,i Mλ 분해에서 계수 cλ,i에 대한 귀납적 공식을 구성할 수 있는가?
• RQ3 . 불가비교 그래프 Γh의 최대 섬소 집합은 cohomology 표현의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 . 아벨 경우를 초월하여 귀납적 공식을 일반화할 수 있으며, 그 일반화의 한계는 무엇인가?
• RQ5 . 아이디얼의 높이와 비순환 방향의 구조는 cohomology 표현을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• . 이 논문은 아벨 Hessenberg 다양체에 대해 H2i(Hess(S,h))가 Sn의 tabloid 표현 Mλ의 비음이 아닌 선형 조합임을 증명한다.
• . 유도적 공식이 수립된다: H2i(Hess(S,h)) = c(n),iM(n) + ∑T∈SK2(Γh) (∑μ⊢(n−2) cTμ,i−deg(T) M(μ1+1,μ2+1)), 여기서 계수는 더 작은 Hessenberg 다양체로부터 유도된다.
• . 계수 cλ,i는 비음이 아닌 정수이며, 이는 아벨 경우에서 그레디드 스탠리-스템브리지 추측이 확인됨을 의미한다.
• . 유도적 구조는 유지된다: h가 아벨일 경우 각 T ∈ SK2(Γh)에 대해 hT도 아벨이므로 유도 증명이 가능하다.
• . regular 아벨 Hessenberg 다양체의 Poincaré 다항식은 최대 2-섬소 집합에 관련된 degree shift deg(T)를 사용하여 유도적으로 계산된다.
• . 일반화된 유도적 공식을 확장하는 추측(추측 8.1)을 제안하지만, 이는 파artition λ의 m(Γh) 개의 부분에 대해서만 계수를 결정하며 전체 표현을 다루진 않는다.