[논문 리뷰] The cohomology of Bestvina-Brady groups

Ian J. Leary, Müge Saadetoğlu|ArXiv.org|2007. 11. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 토러스의 부분복합체의 무한 순환 커버의 정수 계량형과 코homology 링을 계산하며, 오른쪽-각도 아르틴 군에서 ℤ로의 사상의 핵으로서 나타나는 베스트비나-브래디 군을 대상으로 한다. 이들 군의 임의의 링에 대한 코homological 차원을 규명하여, 이것이 정의하는 플래그 복합체의 호모토피 유형에 따라 달라지며, 계수 링의 선택에 따라 변화할 수 있음을 보이며, 이러한 군에 대한 핵심적인 유한성 성질 문제를 해결한다.

ABSTRACT

For each subcomplex of the standard CW-structure on any torus, we compute the homology of a certain infinite cyclic regular covering space. In all cases when the homology is finitely generated, we also compute the cohomology ring. For aspherical subcomplexes of the torus our computation gives the homology and cohomology of Bestvina-Brady groups. We compute the cohomological dimension of each of these groups over any field and over any subring of the rationals.

연구 동기 및 목표

• 토러스의 부분복합체 $T_L$에 대응하는 무한 순환 커버 $\widetilde{T}_L$의 호모로지와 코homology 링을 계산하기.
• 임의의 비자명한 링 $R$에 대해 베스트비나-브래디 군 $H_L$의 코homological 차원을 규명하기.
• $\widetilde{T}_L$의 $R$-호모로지가 $R$-모듈로서 유한 생성 가능한지 조건을 규명하기.
• 특히 $R$가 체이거나 $\mathbb{Q}$의 부분환일 경우, 코homological 차원이 계수 링 $R$에 어떻게 의존하는지 명확히 하기.

제안 방법

• 정점 집합 $V$를 가진 각각의 단순 복합체 $L$에 대해, $T(V)$의 원소인 원소들의 곱으로 이루어진 부분복합체 $T_L \subset T(V)$를 구성하고, $T(V)$ 위의 곱 사상에 의해 유도되는 셀러럴 사상 $\mu_L: T_L \to \mathbb{T}$를 고려한다.
• 토러스 $\mathbb{T}$의 전방위 커버를 $\mu_L$를 통해 올려받아 얻는 무한 순환 정규 커버링 공간인 $\widetilde{T}_L$를 연구하며, 이는 $\mathbb{Z}$-커버이다.
• 셀러럴 호모로지와 $T_L$의 셀러럴 체인 복합체에서 미분이 자명하다는 사실을 이용하여, $H_*(\widetilde{T}_L; R)$을 $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$-모듈로로 계산한다.
• $L$이 $R$-acyclic일 경우, 보편 계수 정리와 PID 위의 프로젝티브 모듈의 성질을 적용하여 $H^*(\widetilde{T}_L; R)$를 분석한다.
• $G_L$이 $L$에 대응하는 오른쪽-각도 아르틴 군일 때, $H_L = \pi_1(\widetilde{T}_L)$가 사상 $\mu_*: G_L \to \mathbb{Z}$의 핵임을 이용하여, $H_L$의 코homological 차원을 $L$의 위상구조와 연결한다.
• 플래그 복합체 조건과 투르히체 정리를 이용하여, $L$를 포함하는 $R$-acyclic 플래그 복합체 $K$를 구성하여, $H_L$의 코homological 차원을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 링 $R$에 대해, $\widetilde{T}_L$의 $R$-호모로지가 $R$-모듈로서 유한 생성 가능한가?
• RQ2 임의의 링 $R$에 대해, 베스트비나-브래디 군 $H_L$의 코homological 차원은 무엇인가?
• RQ3 특히 $R$이 체이거나 $\mathbb{Q}$의 부분환일 경우, $H_L$의 코homological 차원은 계수 링 $R$의 선택에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 어떤 조건에서 단순 복합체 $L$에 대해 코homology 링 $H^*(\widetilde{T}_L; R)$가 완전히 결정되는가?
• RQ5 비어 있는 코homological 차원과 $H_L$의 코homological 차원 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $\widetilde{T}_L$의 $R$-호모로지가 $R$-모듈로 유한 생성 가능할 조건은 $L$이 유한하고 $R$-acyclic일 때이다.
• 모든 $R$-acyclic $L$에 대해, 코homology 링 $H^*(\widetilde{T}_L; R)$는 $L$의 코homology와 $R$의 작용을 통해 완전히 기술된다.
• $H^n(L; A) \neq 0$ 인 어떤 $R$-모듈로 $A$가 존재할 경우, $H_L$의 $R$에 대한 코homological 차원은 $n+1$이며, 그렇지 않으면 $n$이다. 여기서 $n = \dim(L)$이다.
• $H_L$의 코homological 차원은 $G_L$과 달리 계수 링 $R$의 선택에 따라 변할 수 있다.
• 비어 있는 코homological 차원과 $H_L$의 코homological 차원은 서로 같으며, 이는 이러한 군의 유한성 성질에 관한 질문을 해결한다.
• 예시들은 특정 정수 $m$이 링 $R$에서 단위일 때와 아닐 때에 따라 $\mathrm{cd}_R(H_L)$가 2 또는 3가 될 수 있음을 보이며, 코homological 차원의 링 의존성을 입증한다.