[논문 리뷰] The Common Structure For Objects In Aperiodic Order And The Theory Of Local Matching Topology

Yasushi Nagai|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 12.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 테일링, 델로네 집합, 기타 비정규 객체를 일반화하는 추상 패턴 공간을 도입함으로써 비정규 질서에 대한 통합적인 위상적 프레임워크를 수립한다. 이 공간들에 대해 국소 매칭 위상과 균일 구조를 정의하고, 약한 조건 하에서 하우스도르프 분리성과 완비성을 증명하며, 유한 국소 복잡성(Finite Local Complexity, FLC)이 연속 힐의 컴팩턴스를 유도함을 보여, 유클리드 공간에서의 핵심 결과를 일반적인 메트릭 공간과 군 작용으로 확장한다.

ABSTRACT

In aperiodic order, non-periodic but "ordered" objects such as tilings, Delone sets, functions and measures are investigated. In this article we depict the common structure of these objects by using the general framework of abstract pattern spaces. In particular, using the common structure we define local matching topology and uniform structure for objects such as tilings in quite a general space and a symmetry group. We prove Hausdorff property of the topology and the completeness of the uniform structure under a mild assumption. We also prove finite local complexity implies the compactness of the continuous hull and often the converse holds.

연구 동기 및 목표

• 비정규 객체들인 테일링, 델로네 집합, 함수들을 동일한 수학적 구조 아래 통합적으로 다루기.
• 유클리드 공간에서의 기존 구성들을 일반화하는 추상 패턴 공간 위에 국소 매칭 위상과 균일 구조를 정의하기.
• 약한 가정 하에서 국소 매칭 균일 구조의 하우스도르프 성질과 완비성을 증명하기.
• 이 일반적 설정에서 유한 국소 복잡성(Finite Local Complexity, FLC)이 연속 힐의 컴팩턴스를 유도함을 확립하기.
• 추가 조건 하에서 연속 힐의 컴팩턴스가 자주 FLC를 유도함을 보여, 역관계를 수립하기.

제안 방법

• 절단 연산과 군 작용을 통해 비정규 객체들의 공통 구조적 특징을 공리화하고, 추상 패턴 공간을 정의하기.
• 대칭군 Γ 내의 컴팩트 집합과 이웃함수를 기반으로 한 엔투레지(entourages)를 사용해 국소 매칭 위상을 정의하기.
• 컴팩트 K ⊂ X 및 Γ 내의 이웃함수 V에 대해 U_{K,V} = {(P,Q) | P∧K = γ(Q∧K) for some γ ∈ V} 를 기반으로 한 엔투레지 기반의 국소 매칭 균일 구조를 정의하기.
• 약한 가정 하에서 위상이 하우스도르프임(정리 3.7)과 메트라이잭블임(보조정리 3.8)을 증명하기.
• 대각선화 방법을 사용해 추상 패턴 공간의 부분공간에서 국소 매칭 균일 구조의 완비성을 확보하기(정리 3.19).
• 완비성과 전반적 유계성( total boundedness )을 이용해 FLC가 연속 힐의 컴팩턴스를 유도함을 증명하기(정리 3.25).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추상 패턴 공간에서의 국소 매칭 위상은 약한 가정 하에 하우스도르프 위상인가?
• RQ2 환경 공간이 적절한 메트릭 공간이고 군 작용이 적절할 때, 추상 패턴 공간에서의 국소 매칭 균일 구조는 완비적인가?
• RQ3 이 일반적 프레임워크에서 유한 국소 복잡성(Finite Local Complexity, FLC)은 연속 힐의 컴팩턴스를 유도하는가?
• RQ4 추가 조건 하에서 연속 힐의 컴팩턴스가 FLC를 유도하는가?
• RQ5 국소 유도 가능성(local derivability)은 FLC와 연속 힐의 컴팩턴스의 유전성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 약한 가정 하에서 추상 패턴 공간에서의 국소 매칭 위상은 하우스도르프이며, 이는 위상적 분리성을 보장한다.
• 군 작용이 적절하고 공간이 적절할 경우, 추상 패턴 공간의 부분공간에서 국소 매칭 균일 구조는 완비적이다.
• 이 일반적 설정에서 유한 국소 복잡성(Finite Local Complexity, FLC)은 국소 매칭 위상에서 연속 힐의 컴팩턴스를 유도하며, 이는 R^d에서의 알려진 결과를 일반적인 메트릭 공간으로 확장한 것이다.
• 각 컴팩트 K ⊂ X에 대해 A(P∧K)가 유한함이라는 추가 가정 하에서, 연속 힐의 컴팩턴스는 FLC를 유도한다.
• Γ-작용에 대해 유한한 유형을 가진 델로네 집합과 테일링의 경우, FLC는 연속 힐의 컴팩턴스와 동치이다.
• 이 결과는 기존의 FLC와 힐의 컴팩턴스 사이의 등가성 관계를 유클리드 공간을 초월해 일반적인 적절한 메트릭 공간과 등급 군 작용으로 확장한다.