[논문 리뷰] The complexity of approximating complex-valued Ising and Tutte partition functions

Leslie Ann Goldberg, Heng Guo|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 양자 계산을 사용하지 않고 조합 기법을 활용하여 복소수 매개변수를 가진 이징 및 투트 편제 함수의 근사화에 대한 완전한 복잡도 분류를 제공한다. 대부분의 매개변수 값에서 #P-난이도를 규명하고, 특히 매개변수가 단위근일 경우 정확한 다항시간 해법이 존재하는 경우를 식별하여 근사 수치 계산 및 복잡도 이론 분야에서 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We study the complexity of approximately evaluating the Ising and Tutte partition functions with complex parameters. Our results are partly motivated by the study of the quantum complexity classes BQP and IQP. Recent results show how to encode quantum computations as evaluations of classical partition functions. These results rely on interesting and deep results about quantum computation in order to obtain hardness results about the difficulty of (classically) evaluating the partition functions for certain fixed parameters. The motivation for this paper is to study more comprehensively the complexity of (classically) approximating the Ising and Tutte partition functions with complex parameters. Partition functions are combinatorial in nature and quantifying their approximation complexity does not require a detailed understanding of quantum computation. Using combinatorial arguments, we give the first full classification of the complexity of multiplicatively approximating the norm and additively approximating the argument of the Ising partition function for complex edge interactions (as well as of approximating the partition function according to a natural complex metric). We also study the norm approximation problem in the presence of external fields, for which we give a complete dichotomy when the parameters are roots of unity. Previous results were known just for a few such points, and we strengthen these results from BQP-hardness to #P-hardness. Moreover, we show that computing the sign of the Tutte polynomial is #P-hard at certain points related to the simulation of BQP. Using our classifications, we then revisit the connections to quantum computation, drawing conclusions that are a little different from (and incomparable to) ones in the quantum literature, but along similar lines.

연구 동기 및 목표

• 양자 계산에 의존하지 않고, 복소수 매개변수를 가진 이징 및 투트 편제 함수의 근사화 복잡도를 종합적으로 분류하는 것.
• 복소수 간선 상호작용에 대한 이징 편제 함수의 노름과 위상 근사화 문제를 해결하는 열린 문제를 해결하는 것.
• 특히 매개변수가 단위근일 경우, 이전의 BQP-난이도 결과를 #P-난이도로 확장하는 것.
• 매개변수가 단위근일 경우 외부 필드가 존재하는 상황에서 노름 근사화에 대한 완전한 이분법을 제공하는 것.
• 양자 복잡도 클래스(BQP, IQP)와의 연결 고리를 순수히 조합적 추론을 통해 재구성하여 더 날카운 복잡도 경계를 도출하는 것.

제안 방법

• 복소수 이징 편제 함수의 행동을 분석하기 위한 조합적 프레임워크를 개발하며, 간선 상호작용과 외부 필드에 중점을 둔다.
• 효율적 상호작용 강도를 분석하고, 그것이 $(-1, 0)$ 또는 $(-∞, -1)$ 에 속하는지 여부를 판단하기 위해 변환 함수 $ w( heta, heta) $ 를 도입한다. 이를 통해 감소 기법을 가능하게 한다.
• 단위근에 대한 수론적 추론을 활용하여, 특정 매개변수 조합이 특정 대수적 조건을 만족하지 않으면 모순이 발생함을 보여준다.
• 그래프 구성 기반의 기법을 활용해 외부 필드와 간선 상호작용을 시뮬레이션함으로써, 서로 다른 매개변수 집합 간의 난이도 전이를 가능하게 한다.
• 외부 필드를 조작하기 위해 파wr업 및 상쇄 기법을 활용한다(예: $ z $ 를 거듭제곱 $ r $ 으로 승격함).
• 이전 연구 결과(예: 보조정리 17, 보조정리 20)와 새로운 보조정리를 조합하여, 이미 알려진 다항시간 해법이 존재하지 않는 모든 매개변수 영역에서 난이도를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 복소수 매개변수 값에서 이징 편제 함수의 노름 근사화가 #P-난이도인가?
• RQ2 복소수 간선 상호작용에 대해 이징 편제 함수의 위상 근사화의 복잡도는 어떠한가?
• RQ3 외부 필드가 존재할 경우, 특히 매개변수가 단위근일 때 이징 및 투트 편제 함수의 노름 근사화는 언제 다항시간으로 해결 가능한가?
• RQ4 특정 이징 매개변수에 대해 이전에 알려진 BQP-난이도 결과를 조합적 기법을 사용해 #P-난이도로 강화할 수 있는가?
• RQ5 이징 및 투트 편제 함수 근사화의 복잡도는 BQP 및 IQP 등의 양자 복잡도 클래스와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 복소수 간선 상호작용 $ y $ 와 외부 필드 $ z $ 에 대해 이징 편제 함수의 노름 근사화는 #P-난이도이지만, $ y = ±1 $ 이거나 $ y = ± i $ 이고 $ z ∈ \{1, -1, i, -i\} $ 인 경우는 제외된다.
• $ y = ± i $ 이고 $ z $ 가 $ \{1, -1, i, -i\} $ 에 속하지 않는 단위근일 경우, 노름 근사화 문제는 #P-난이도이며, 이는 이전의 BQP-난이도 결과를 더 강력한 복잡도 클래스 난이도로 확장한다.
• 외부 필드 $ z $ 가 단위근일 경우, 완전한 이분법이 확립된다: $ z ∈ \{1, -1, i, -i\} $ 이고 $ y = ± i $ 이면 노름 근사화는 다항시간으로 해결 가능하며, 그 외의 경우 #P-난이도이다.
• 논문은 BQP 시뮬레이션과 관련된 특정 점에서 투트 다항식의 부호 계산이 #P-난이도임을 증명하며, 이는 이전의 양자 기반 난이도 결과를 강화한다.
• $ y = ± i $ 이고 $ z $ 가 비자명한 단위근일 경우, 이징 모델의 노름 근사화는 #P-난이도이며, 이는 이전에 BQP-난이도로만 알려져 있던 매개변수 조합임에도 불구하고 성립한다.
• 저자들은 $ y = ± i $ 이고 $ z $ 가 $ \{1, -1, i, -i\} $ 에 속하지 않을 경우, 효과적 상호작용 $ w( heta, heta) $ 가 실수이면서 $ (-∞, -1) $ 에 속하도록 만들 수 있음을 보여주며, 이를 통해 파wr업 기법을 활용해 기존의 난이도가 알려진 경우로 감소시킬 수 있다.