[논문 리뷰] The complexity of approximating complex-valued Ising and Tutte partition functions with applications to quantum simulation.

Leslie Ann Goldberg, Heng Guo|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수 매개변수를 가진 이징 및 투트 유체적 분할 함수를 근사화하는 데 있어 조합적 방법을 사용하여 복잡도 분류를 종합적으로 제공하며, 특정 점에서 노름 근사와 부호 계산의 #P-난이도를 입증한다. 이는 이전의 양자 복잡도 결과를 강화하여 BQP-난이도를 초월한 고전적 난이도를 보여주며, 분할 함수를 통한 양자 계산 시뮬레이션의 고전적 난이도에 대한 새로운 통찰을 제공한다.

ABSTRACT

We study the complexity of approximately evaluating the Ising and Tutte partition functions with complex parameters. Our results are partly motivated by the study of the quantum complexity classes BQP and IQP. Recent results show how to encode quantum computations as evaluations of classical partition functions. These results rely on interesting and deep results about quantum computation in order to obtain hardness results about the difficulty of (classically) evaluating the partition functions for certain fixed parameters. The motivation for this paper is to study more comprehensively the complexity of (classically) approximating the Ising and Tutte partition functions with complex parameters. Partition functions are combinatorial in nature and quantifying their approximation complexity does not require a detailed understanding of quantum computation. Using combinatorial arguments, we give the first full classification of the complexity of multiplicatively approximating the norm and additively approximating the argument of the Ising partition function for complex edge interactions (as well as of approximating the partition function according to a natural complex metric). We also study the norm approximation problem in the presence of external fields, for which we give a complete dichotomy when the parameters are roots of unity. Previous results were known just for a few such points, and we strengthen these results from BQP-hardness to #P-hardness. Moreover, we show that computing the sign of the Tutte polynomial is #P-hard at certain points related to the simulation of BQP. Using our classifications, we then revisit the connections to quantum computation, drawing conclusions that are a little different from (and incomparable to) ones in the quantum literature, but along similar lines.

연구 동기 및 목표

• 양자 계산의 세부 사항에 의존하지 않고, 복소수 매개변수를 가진 이징 및 투트 분할 함수 근사의 고전적 복잡도를 종합적으로 분류하는 것.
• 이전의 BQP-난이도 결과를 특정 매개변수 점에서 노름 근사와 부호 계산에 대해 더 강력한 #P-난이도로 확장하는 것.
• 매개변수가 단위근일 때 외부 필드가 있는 이징 분할 함수의 노름 근사에 대한 완전한 이분법을 제공하는 것.
• 순수한 조합 기법을 사용하여 고전적 분할 함수 근사와 양자 복잡도 클래스(BQP 및 IQP) 간의 관계를 재평가하는 것.

제안 방법

• 복소수 매개변수에 대해 이징 및 투트 분할 함수의 구조를 분석하기 위해 조합적 추론을 사용한다.
• 노름과 분할 함수의 각도 근사의 어려움을 분류하기 위해 대수적 및 복잡도 이론적 기법을 적용한다.
• 매개변수가 단위근인지 여부에 따라 복잡도를 분류하기 위해 이분법 프레임워크를 활용한다.
• 양자 계산에 대한 기존 결과를 참조하지만, 고전적 난이도 결과를 증명할 때 양자 이론에 의존하지 않는다.
• 노름과 각도 근사의 통합을 위해 분할 함수 근사에 자연스러운 복소수 거리 척도를 도입한다.
• 근사 복잡도를 유지하는 감소를 통해 문제를 알려진 #P-완전 문제로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 복소수 간선 상호작용 매개변수에 대해 이징 분할 함수의 노름 근사가 어렵게 되는가?
• RQ2 매개변수가 단위근일 때 외부 필드가 있는 이징 분할 함수의 각도를 가우스적으로 근사하는 데 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 BQP 시뮬레이션과 관련된 점들에서 투트 다항식의 부호 계산은 #P-난이도인가?
• RQ4 양자 계산 이론에 의존하지 않고도 복소수 분할 함수 근사의 고전적 난이도를 확립할 수 있는가?
• RQ5 다양한 근사 척도에 따라 이징 및 투트 분할 함수의 복잡도 분류는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 논문은 매개변수가 단위근일 때 외부 필드가 있는 이징 분할 함수의 노름 근사에 대해 완전한 이분법을 확립하며, 특정 점에서 #P-난이도를 입증한다.
• 특정 점에서 투트 다항식의 부호 계산이 #P-난이도임을 증명하여 이전의 BQP-난이도 결과를 강화한다.
• 복소수 간선 상호작용을 가진 이징 분할 함수의 노름 근사 문제는 조합적 방법을 통해 완전히 분류되었으며, 넓은 범위의 매개변수에서 난이도가 유지된다.
• 이 연구는 이전의 분할 함수 근사에 대한 BQP-난이도 결과가 #P-난이도로 강화될 수 있음을 보여주며, 더 깊은 고전적 비가역성을 시사한다.
• 저자들은 자연스러운 복소수 거리 척도 하에서 분할 함수 근사의 복잡도가 완전히 분류되었음을 입증하며, 분야 내 열린 문제를 해결한다.
• 이 작업은 분할 함수의 고전적 복잡도 결과가 양자 계산 복잡도에 대한 통찰을 제공할 수 있으며, 상세한 양자 이론을 요구하지 않음을 드러낸다.