[논문 리뷰] The Complexity of $(\Delta + 1)$Coloring inCongested Clique, Massively Parallel Computation,and Centralized Local Computation

Yi‐Jun Chang, Manuela Fischer외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 25.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 혼잡한 클리크 및 대량 병렬 처리(MPC) 모델에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제에 대해 최적의 O(1)-라운드 복잡도를 달성하는 랜덤화 알고리즘을 제시한다. 또한 중심 집중형 국소 계산(LCC) 모델에서는 ∆O(1)·O(log n)의 질의 복잡도를 갖는다. 핵심 혁신은 고도수 정점에 대한 의존도를 줄이는 데에 초점을 맞춘 새로운 스퍼스피티드 색칠 프레임워크에 있다. 이는 MPC 모델에서 하향 로그 복잡도의 라운드 복잡도를 가능하게 하고, 다항로그 정도 가정 하에 혼잡한 클리크 모델에서 상수 라운드 실행을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present new randomized algorithms that improve the complexity of the classic $(\Delta+1)$-coloring problem, and its generalization $(\Delta+1)$-list-coloring, in three well-studied models of distributed, parallel, and centralized computation: Distributed Congested Clique: We present an $O(1)$-round randomized algorithm for $(\Delta+1)$-list coloring in the congested clique model of distributed computing. This settles the asymptotic complexity of this problem. It moreover improves upon the $O(\log^\ast \Delta)$-round randomized algorithms of Parter and Su [DISC'18] and $O((\log\log \Delta)\cdot \log^\ast \Delta)$-round randomized algorithm of Parter [ICALP'18]. Massively Parallel Computation: We present a $(\Delta+1)$-list coloring algorithm with round complexity $O(\sqrt{\log\log n})$ in the Massively Parallel Computation (MPC) model with strongly sublinear memory per machine. This algorithm uses a memory of $O(n^{\alpha})$ per machine, for any desirable constant $\alpha>0$, and a total memory of $\widetilde{O}(m)$, where $m$ is the size of the graph. Notably, this is the first coloring algorithm with sublogarithmic round complexity, in the sublinear memory regime of MPC. For the quasilinear memory regime of MPC, an $O(1)$-round algorithm was given very recently by Assadi et al. [SODA'19]. Centralized Local Computation: We show that $(\Delta+1)$-list coloring can be solved with $\Delta^{O(1)} \cdot O(\log n)$ query complexity, in the centralized local computation model. The previous state-of-the-art for $(\Delta+1)$-list coloring in the centralized local computation model are based on simulation of known LOCAL algorithms.

연구 동기 및 목표

• 혼잡한 클리프 모델에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제의 渐近 복잡도 간극을 닫기 위해 O(1)-라운드 랜덤화 알고리즘을 달성하는 것.
• 강한 하향 선형 메모리 환경에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제에 대해 최초로 하향 로그 라운드 복잡도를 갖는 MPC 알고리즘을 설계하는 것.
• 기존의 LOCAL 알고리즘 시뮬레이션을 초월하여 중심 집중형 국소 계산(LCC) 모델에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제의 질의 복잡도를 향상시키는 것.
• 새로운 스퍼스피티드 색칠 프레임워크를 통해 분산, 병렬, 국소 계산 모델 간의 알고리즘 기법을 통합하는 것.
• ∆=O(poly log n) 조건 하에서 혼잡한 클리프 모델에서 상수 라운드 색칠이 가능하다는 것을 보여주어 핵심 열린 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 각 정점의 '중요한' 이웃을 식별하는 스퍼스피티드 색칠 절차를 도입하여, 오직 이러한 이웃들 간의 통신만 허용함으로써 메시지 크기와 의존도를 감소시킴.
• 각 정점 v에 대해 |N*(v)| = O(poly log ∆)가 되도록 하는 사전 처리 단계를 통해 축소된 이웃 집합 N*(v)을 계산함으로써 효율적인 국소 계산을 가능하게 함.
• 도수 다항로그 조건 하에서, 혼잡한 클리프 모델에서 O(log*∆)-라운드 LOCAL 알고리즘의 O(1)라운드 시뮬레이션을 가능하게 하는 속도 향상 보조정리(Lemma 2.3)를 적용함.
• 그래프 분할 프레임워크를 활용: 정점들을 칠해진, 나쁜, 나머지 구성요소로 분할한 후 각 구성요소를 결정론적 또는 국소 알고리즘으로 색칠함.
• 제한된 크기의 메시지를 사용하는 메시지 전달 방식을 통해 LOCAL 알고리즘의 블랙박스 시뮬레이션을 MPC 및 혼잡한 클리프 모델에서 수행함.
• R(저도수 정점), VBad(나쁜 정점), 그리고 칠해지지 않은 구성요소에 의해 유도되는 부분 그래프의 결과를 조합하여 복잡도가 제한된 전체 색칠을 달성함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼잡한 클리프 모델에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제는 O(1)라운드 내에 해결될 수 있는가? 만약 가능하다면, 어떤 도수 가정 조건 하에서 가능한가?
• RQ2 강한 하향 선형 메모리 환경에서 MPC 모델에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제에 대해 하향 로그 라운드 복잡도를 달성하는 것이 가능한가?
• RQ3 중앙 집중형 국소 계산 모델에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제의 최적 질의 복잡도는 무엇이며, 기존의 LOCAL 알고리즘 시뮬레이션 기반의 경계를 초월하여 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 스퍼스피티드 색칠 프레임워크는 다수의 계산 모델 간의 통신 및 복잡도를 줄이는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 ∆=O(poly log n) 조건 하에서, 속도 향상 보조정리(Lemma 2.3)를 적용하여 O(log*∆)-라운드 LOCAL 알고리즘을 혼잡한 클리프 모델에서 O(1)라운드로 시뮬레이션할 수 있는가?

주요 결과

• 혼잡한 클리프 모델에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제에 대해 O(1)-라운드 랜덤화 알고리즘을 달성하여 문제의 渐진 복잡도를 해결함.
• 강한 하향 선형 메모리 환경에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제에 대해 최초로 하향 로그 라운드 복잡도를 갖는 MPC 알고리즘을 제시함. 라운드 복잡도는 O(√log log n)이다.
• 중앙 집중형 국소 계산 모델에서 (∆+1)-리스트 색칠 문제를 ∆O(1)·O(log n)의 질의 복잡도로 해결함으로써, 이전의 시뮬레이션 기반 경계를 향상시킴.
• ∆=O(poly log n) 조건 하에서, 속도 향상 보조정리와 메시지 크기 제약 조건을 활용하여 혼잡한 클리프 모델에서 O(1)-라운드 복잡도를 달성함.
• 스퍼스피티드 색칠 후 칠해지지 않은 정점들이 형성하는 부분 그래프는 O(n)개의 간선을 갖으며, 이는 블랙박스 시뮬레이션을 통해 O(1)라운드 내에 효율적으로 색칠 가능함.
• 스퍼스피티드 색칠 프레임워크는 오직 중요한 이웃들에 집중함으로써 고도수 정점에 대한 의존도를 줄여, 다양한 모델 간의 확장성 있고 효율적인 계산을 가능하게 함.