[논문 리뷰] The Complexity of HCP in Digraps with Degree Bound Two

Guohun Zhu|arXiv (Cornell University)|2007. 04. 03.

Graph theory and applications참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최대 들어오는 차수와 나가는 차수가 2인 방향 그래프(digraph)에서 해밀턴 순환문제(HCP)에 대해 다항시간 알고리즘을 제안한다. 이는 방향 그래프를 균형 잡힌 이분 그래프로 변환하고 HCP를 완벽 매칭 문제로 환원함으로써 이루어진다. 논문은 이 제한된 클래스에서 HCP가 NP-완전이면서 동시에 다항시간에 해결 가능하므로, P = NP임을 주장한다.

ABSTRACT

The Hamiltonian cycle problem (HCP) in digraphs D with degree bound two is solved by two mappings in this paper. The first bijection is between an incidence matrix C_{nm} of simple digraph and an incidence matrix F of balanced bipartite undirected graph G; The second mapping is from a perfect matching of G to a cycle of D. It proves that the complexity of HCP in D is polynomial, and finding a second non-isomorphism Hamiltonian cycle from a given Hamiltonian digraph with degree bound two is also polynomial. Lastly it deduces P=NP base on the results.

연구 동기 및 목표

• 최대 들어오는 차수와 나가는 차수가 2인 방향 그래프에서 해밀턴 순환문제(HCP)의 복잡도를 해결하기 위해.
• 이러한 방향 그래프에서 HCP를 유도된 균형 잡힌 이분 그래프에서 완벽 매칭으로의 다항시간 환원을 수립하기 위해.
• 이러한 그래프에서 해밀턴 순환의 존재 여부가 O(n⁴) 시간 내에 결정될 수 있음을 증명하기 위해.
• 이러한 NP-완전 문제에 대해 다항시간 알고리즘이 존재하므로 P = NP임을 주장하기 위해.

제안 방법

• 입접 행렬을 사용하여 최대 차수 2인 방향 그래프 D의 프로젝터 그래프 G를 구성하며, 이는 양의 및 음의 입접 행렬을 조합하는 맵핑 F를 사용한다.
• 유도된 그래프 G가 최대 차수 2이며, 최대 n/4개의 길이 4의 구성요소를 가진 균형 잡힌 이분 그래프임을 증명한다.
• D에서의 HCP를 G에서의 완벽 매칭 M으로 환원하며, 변환된 입접 행렬의 질서 r(F⁻¹(M)) = n−1 조건을 만족시키도록 한다.
• 매칭 M에 대한 단조 함수 f(M)를 사용하여 D의 구성요소 수를 표현함으로써, 비이소모르픽인 완벽 매칭의 수를 선형적으로 제한한다.
• Hopcroft-Karp 알고리즘을 적용하여 O((m+n)√n) 시간 내에 완벽 매칭을 찾고, 질서 조건을 검증하여 해밀턴 순환의 존재를 확인한다.
• 일반적인 차수 ≤2인 방향 그래프에 대해 정점 분할을 통해 Γ-그래프로 변환하고, 동일한 방법을 적용하여 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 들어오는 차수와 나가는 차수가 2인 방향 그래프에서 해밀턴 순환문제(HCP)는 다항시간에 해결될 수 있는가?
• RQ2 이러한 그래프에서 해밀턴 순환과 유도된 균형 잡힌 이분 그래프에서의 완벽 매칭 사이에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ3 이러한 NP-완전 부분 클래스에 대해 다항시간 알고리즘이 존재한다면, 이는 P = NP를 의미하는가?
• RQ4 이러한 그래프에서 비이소모르픽인 해밀턴 순환의 수를 효율적으로 세는 것이 가능한가?
• RQ5 일반적인 차수 2 이하인 방향 그래프에서의 HCP는 정점 분할을 통해 Γ-그래프에서의 HCP로 환원 가능한가?

주요 결과

• 최대 들어오는 차수와 나가는 차수 2인 방향 그래프에서 HCP는 균형 잡힌 이분 그래프에서의 완벽 매칭으로의 환원을 통해 O(n⁴) 시간 내에 해결 가능하다.
• 원래의 방향 그래프에서 해밀턴 순환과 조건 r(F⁻¹(M)) = n−1를 만족하는 프로젝터 그래프 G의 완벽 매칭 사이에 일대일 대응이 존재한다.
• 비이소모르픽인 완벽 매칭의 수는 n에 대해 선형적이므로, 다항시간 내에 완전 탐색이 가능하다.
• 논문은 이 NP-완전 문제에 대해 다항시간 알고리즘이 존재하므로, Cook의 주장에 기반하여 P = NP라고 주장한다.
• 정점 분할 변환은 해밀턴 순환을 유지하며, 일반적인 차수 ≤2인 방향 그래프를 Γ-그래프로 매핑한다.
• 이 방법은 주어진 차수 2 이하인 해밀턴 방향 그래프에서 비이소모르픽인 두 번째 해밀턴 순환을 찾는 것도 다항시간 내에 해결 가능하다는 것을 확인한다.