[논문 리뷰] The complexity of isomorphism between countably based profinite groups

André Nies|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 03.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기술적 집합론의 보렐 감소를 사용하여 가чёт 기반 프로파인 군의 동형사상의 복잡도를 조사한다. 위상적으로 유한 생성된 프로파인 군의 동형사상은 실수 위의 항등관계와 동일한 복잡도를 가지며, 일반적인 프로파인 군의 동형사상은 $S_\infty$-오빗 동치관계에 대해 완전하다. 이는 가чёт 기반의 그래프 동형사상과 동일한 복잡도를 가진다.

ABSTRACT

A topological group G is profinite if it is compact and totally disconnected. Equivalently, G is the inverse limit of a surjective system of finite groups carrying the discrete topology. We discuss how to represent a countably based profinite group as a point in a Polish space. Then we study the complexity of isomorphism using the theory of Borel reducibility in descriptive set theory. For topologically finitely generated profinite groups this complexity is the same as the one of identity for reals. In general, it is the same as the complexity of isomorphism for countable graphs.

연구 동기 및 목표

• 가чёт 기반 프로파인 군의 동형사상에 대한 기술적 집합론적 복잡도를 규명하는 것.
• 기존의 동치관계들과 비교하여 보렐 감소를 사용해 동형사상의 복잡도를 분류하는 것.
• 위상적으로 유한 생성된 프로파인 군의 동형사상은 낮은 복잡도를 가지며, 실수 위의 항등관계와 동치임을 보여주는 것.
• 일반적인 프로파인 군의 동형사상이 $S_\infty$-오빗 동치관계에 대해 완전함을 보여주는 것.
• 가чёт 기반 프로파인 군을 가측적 분류를 가능하게 하는 폴란드 공간으로 표현하는 것.

제안 방법

• 유한 몫군의 역극한을 통해 가чёт 기반 프로파인 군을 폴란드 공간의 점으로 표현하는 것.
• 보렐 감소를 사용해 동형사상의 복잡도를 실수 위의 항등관계나 $S_\infty$-오빗 동치관계와 같은 표준 동치관계와 비교하는 것.
• 루보츠키의 결과를 적용하여 위상적으로 유한 생성된 프로파인 군의 동형사상이 닫힌 동치관계임을 보이고, 따라서 실수 위의 항등관계보다 보렐 아래임을 증명하는 것.
• 자유 프로파인 군 $\widehat{F}_\omega$의 보편 성질을 활용해 임의의 프로파인 군을 $\widehat{F}_\omega$의 몫으로 표현하는 것.
• $R$가 닫힌 정규부분군일 때 $G = \widehat{F}_k / R$의 구조를 이용해 $S_\infty$-완전성 증명에서 중심화군 크기와 교환자 관계를 분석하는 것.
• 관련 그래프 $A$의 생성자 간 인접성 구조에 따라 경우를 나누어 중심화군을 분류하고 원소의 동형형태를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적으로 유한 생성된 프로파인 군의 동형사상에 대한 보렐 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 일반적인 프로파인 군의 동형사상 복잡도는 기술적 집합론에서 알려진 동치관계들과 어떻게 비교되는가?
• RQ3 가чёт 기반 프로파인 군은 폴란드 공간에서 일관되게 표현될 수 있는가? 이는 가측적 분류를 가능하게 하는가?
• RQ4 프로파인 군의 동형사상은 $S_\infty$-오빗 동치관계에 대해 완전한가?
• RQ5 프로파인 군의 위상적 구조가 그 동형형태를 얼마나 정확히 결정하는가?

주요 결과

• 위상적으로 유한 생성된 프로파인 군의 동형사상은 실수 위의 항등관계로 보렐 감소 가능하며, 낮은 복잡도임을 나타낸다.
• 일반적인 가чёт 기반 프로파인 군의 동형사상 관계는 $S_\infty$-오빗 동치관계에 대해 완전하다.
• 이는 프로파인 군의 동형사상 문제가 기존의 $S_\infty$-완전 문제인 가чёт 기반 그래프의 동형사상 문제와 동일한 복잡도를 가짐을 의미한다.
• 증명은 생성자 간 인접성의 그래프 이론적 성질을 통해 자유 프로파인 군 $\widehat{F}_\omega$의 몫에서 원소의 중심화군을 분석하는 데 의존한다.
• 이 몫군에서 중심화군의 크기는 관련 그래프 $A$의 구조에 따라 달라지며, 경우에 따라 $p-1$, $(p-1)^2$, 또는 $p(p-1)$이 된다.
• 생성자 그래프에 삼각형이나 사각형이 없을 경우 중심화군은 단일 원소로 생성되며, 이에 따라 공轭류에는 $p-1$개의 원소가 존재한다.