[논문 리뷰] The complexity of quantum spin systems on a two-dimensional square lattice

Roberto I. Oliveira, Barbara M. Terhal|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 144

한 줄 요약

이 논문은 큐비트가 2차원 정사각형 격자로 배열된 경우 2-LOCAL HAMILTONIAN 문제의 QMA-완전성 유지함을 증명한다. 이는 중재 큐비트를 사용하는 새로운 펌다멘테이션 기구를 통해 k-로컬 상호작용을 시뮬레이션함으로써 달성된다. 또한 양자 어드아바틱 계산과 회로 모델 간의 등가성을 2-로컬 2D 상호작용 하에서 확립하고, 임의의 k-로컬 안정자 공간(상수 k에 대해)이 2-로컬 하미르토니안의 기본 상태로 근사 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The problem 2-LOCAL HAMILTONIAN has been shown to be complete for the quantumcomputational class QMA [1]. In this paper we show that this important problemremains QMA-complete when the interactions of the 2-local Hamiltonian are betweenqubits on a two-dimensional (2-D) square lattice. Our results are partially derived withnovel perturbation gadgets that employ mediator qubits which allow us to manipulatek-local interactions. As a side result, we obtain that quantum adiabatic computationusing 2-local interactions restricted to a 2-D square lattice is equivalent to the circuitmodel of quantum computation. Our perturbation method also shows how any stabilizerspace associated with a k-local stabilizer (for constant k) can be generated as anapproximate ground-space of a 2-local Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• 상호작용이 2차원 정사각형 격자로 제한된 경우 2-LOCAL HAMILTONIAN 문제의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 중재 큐비트를 활용하는 새로운 펌다멘테이션 기구를 개발하여 2-로컬 하미르토니안에서 k-로컬 상호작용을 시뮬레이션하는 것.
• 2-로컬 상호작용이 2D 격자에서 이루어지는 경우 양자 어드아바틱 계산과 회로 모델 간의 등가성을 확립하는 것.
• 임의의 k-로컬 안정자 공간(상수 k에 대해)이 2-로컬 하미르토니안의 기본 상태로 근사 가능하다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 2D 격자 내에서 떨어져 있는 큐비트 간 효과적 상호작용을 가능하게 하는 중재 큐비트를 활용하는 새로운 펌다멘테이션 기구 설계.
• 2차 펌다멘테이션 이론을 사용하여 2-로컬 항목으로부터 고차 상호작용을 시뮬레이션하는 효과적 하미르토니안 유도.
• 이러한 기구를 통해 일반적인 k-로컬 하미르토니안을 2D 정사각형 격자 상의 등가 2-로컬 하미르토니안으로 매핑하는 것.
• 유도된 2-로컬 하미르토니안의 기본 상태가 목표 k-로컬 안정자 공간과 높은 정밀도로 근사됨을 증명하는 것.
• 기존의 QMA-완전 문제로부터의 축소를 통해 2D 격자 제약 조건 하에서 2-LOCAL HAMILTONIAN 문제가 여전히 QMA-완전하다는 것을 증명하는 것.
• 2-로컬 2D 상호작용가 충분히 보편 양자 계산을 시뮬레이션할 수 있음을 보여줌으로써, 양자 어드아바틱 계산과 회로 모델 간의 등가성을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큐비트가 2차원 정사각형 격자로 제한된 경우 2-LOCAL HAMILTONIAN 문제도 여전히 QMA-완전한가?
• RQ2 중재 큐비트를 사용하는 펌다멘테이션 기구를 통해 2D 격자 상의 2-로컬 하미르토니안에서 k-로컬 상호작용을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ3 2-로컬 상호작용이 2D 정사각형 격자에서 이루어지는 양자 어드아바틱 계산은 표준 회로 모델과 동일한 계산 능력을 갖는가?
• RQ4 임의의 k-로컬 안정자 공간(상수 k에 대해)이 2D 격자 상의 2-로컬 하미르토니안의 근사 기본 상태로 구현될 수 있는가?
• RQ5 보편 양자 계산을 달성하기 위해 필요한 2D 격자 상의 최소한의 2-로컬 상호작용 집합은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 상호작용이 2차원 정사각형 격자 상의 최근접 이웃 큐비트 간으로 제한된 경우에도 2-LOCAL HAMILTONIAN 문제의 QMA-완전성은 유지된다.
• 중재 큐비트를 활용하는 새로운 펌다멘테이션 기구는 2D 격자 상의 2-로컬 하미르토니안에서 k-로컬 상호작용을 성공적으로 시뮬레이션하며, 이는 보편 양자 계산을 가능하게 한다.
• 2-로컬 상호작용만을 사용하는 2D 정사각형 격자 상의 양자 어드아바틱 계산은 표준 회로 모델의 양자 계산과 계산적으로 동등하다.
• 상수 k에 대해 k-로컬 안정자 하미르토니안과 관련된 임의의 안정자 공간은 2D 격자 상의 2-로컬 하미르토니안의 기본 상태로 근사 가능하다.
• 펌다멘테이션 방법은 기본 상태의 근사 오차가 제어 가능하며, 펌다멘테이션 강도에 따라 유리하게 스케일링됨을 보장한다.
• 결과적으로 기하적 제약 조건이 있는 양자 스핀 시스템과 보편 양자 계산의 전체 능력 사이에 밀접한 연결이 존재함을 규명한다.