[논문 리뷰] The complexity of quantum support vector machines

Gian Gentinetta, Arne Thomsen외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 노이즈가 있는 양자 커널 평가를 통한 양자 서포트 벡터 머신(QSVM) 학습의 계산 복잡도를 분석한다. 이는 이중 QSVM이 O(M⁴.⁶⁷/ε²)의 양자 회로 평가로 학습될 수 있음을 보이며, Pegasos 유사 알고리즘을 사용하는 원시적 접근은 O(min{M²/ε⁶, 1/ε¹⁰})의 스케일을 보인다. 실험 결과는 이러한 경계가 확인된다. 근사 QSVM 버전은 O(1/ε³)의 최적 스케일을 달성하지만, 비볼록성으로 인해 전역 최적화 보장을 상실한다.

ABSTRACT

Quantum support vector machines employ quantum circuits to define the kernel function. It has been shown that this approach offers a provable exponential speedup compared to any known classical algorithm for certain data sets. The training of such models corresponds to solving a convex optimization problem either via its primal or dual formulation. Due to the probabilistic nature of quantum mechanics, the training algorithms are affected by statistical uncertainty, which has a major impact on their complexity. We show that the dual problem can be solved in $O(M^{4.67}/\varepsilon^2)$ quantum circuit evaluations, where $M$ denotes the size of the data set and $\varepsilon$ the solution accuracy compared to the ideal result from exact expectation values, which is only obtainable in theory. We prove under an empirically motivated assumption that the kernelized primal problem can alternatively be solved in $O(\min \{ M^2/\varepsilon^6, \, 1/\varepsilon^{10} \})$ evaluations by employing a generalization of a known classical algorithm called Pegasos. Accompanying empirical results demonstrate these analytical complexities to be essentially tight. In addition, we investigate a variational approximation to quantum support vector machines and show that their heuristic training achieves considerably better scaling in our experiments.

연구 동기 및 목표

• 실제 양자 하드웨어 제약 조건 하에서 양자 서포트 벡터 머신(QSVM)의 학습 복잡도를 엄밀하게 분석하기 위해.
• 유한한 양자 회로 측정에서 기인하는 통계적 노이즈가 최적화 수렴에 미치는 영향을 정량화하기 위해.
• 유한한 샘플링을 고려한 양자 커널을 사용한 QSVM의 이중 및 원시적 학습 접근 방식을 비교하기 위해.
• 히우리스틱 변량 최적화 방법의 평가 및 이론적 경계 대비 실증적 스케일링 비교하기 위해.
• 현재의 노이즈 및 자원 제약 조건 하에서 QSVM 학습에서 실용적 양자 우월성이 가능할지 판단하기 위해.

제안 방법

• 유한한 측정 샷 수에서 기인하는 노이즈가 있는 기대값으로 커널 평가를 모델링하여 이중 QSVM 설정을 분석한다.
• 노이즈가 있는 반공간 학습을 가정할 때 이중 문제의 복잡도 경계를 유도하여 O(M⁴.⁶⁷/ε²)의 회로 평가 수를 도출한다.
• 고전적 Pegasos 알고리즘을 양자 커널 환경에 적응시켜 원시 최적화의 복잡도가 O(min{M²/ε⁶, 1/ε¹⁰})의 평가 수로 스케일링됨을 증명한다.
• 결정 함수를 파arameter화하기 위해 변량 양자 회로를 사용하는 근사 QSVM을 도입하여 더 빠른 실증적 스케일링을 가능하게 한다.
• 다양한 샷 수와 데이터 차원을 고려한 QASM 시뮬레이터를 사용하여 이론적 복잡도 경계를 실증적으로 검증한다.
• 오차 대 샷 수 데이터에 대해 로그-로그 피팅을 수행하여 실증적 지수를 추출하고 이론적 예측과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 양자 측정에서 기인하는 통계적 노이즈가 커널 평가에 영향을 주는 경우, 양자 서포트 벡터 머신의 학습 계산 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ2 실제 양자 노이즈 조건 하에서 데이터 크기 M과 해의 정확도 ε에 따라 이중 QSVM 설정의 복잡도는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 Pegasos와 같은 확률적 경사 하강법을 사용한 원시 QSVM 설정이 양자 커널 노이즈가 존재하는 상황에서 이중 접근보다 더 나은 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ4 변량 근사 QSVM의 실증적 스케일링은 어떻게 되며, 이는 이론적 경계와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 비볼록성과 전역 최적화 보장의 상실로 인해 손실되지만, 근사 QSVM은 실용적 양자 우월성 달성에 실현 가능한 길을 제공하는가?

주요 결과

• 이중 QSVM은 ε-정확도를 달성하기 위해 O(M⁴.⁶⁷/ε²)의 양자 회로 평가가 필요하며, 이는 고전적 SVM 대비 샷 노이즈로 인한 다항식 오버헤드를 나타낸다.
• Pegasos 유사 알고리즘을 사용하는 원시 QSVM은 O(min{M²/ε⁶, 1/ε¹⁰})의 평가 수로 스케일링되며, 높은 정확도에서 1/ε¹⁰ 항이 지배한다.
• 실증 결과는 이론적 복잡도 경계가 실질적으로 날카로운 경계임을 확인하였으며, 근사 QSVM의 측정된 ε-스케일링 지수는 2.9±0.3이다.
• 근사 QSVM은 데이터 크기 M과 무관하게 O(1/ε³)의 최적 실증 스케일링을 달성하지만, 비볼록성으로 인해 전역 최적화 보장을 상실한다.
• Pegasos 기반 원시 접근은 이중 방법보다 더 나은 M-스케일링을 제공하지만, ε-스케일링 측면에선 고전적 커널과 비교해 떨어진다.
• 본 연구는 양자 커널이 이론적으로는 증명된 가속 효과를 제공할 수 있지만, 실질적 학습 복잡도는 유한한 샘플링에서 기인하는 통계적 노이즈로 상당히 증가됨을 강조한다.