[논문 리뷰] The Complexity of Relating Quantum Channels to Master Equations

Toby S. Cubitt, Jens Eisert외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 33인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 주어진 양자 채널이 마르코프성 마스터 방정식에서 유래되는지 여부를 판단하는 문제—즉, 마르코프성 문제—가 NP-난이도임을 입증한다. 이는 P=NP가 성립하지 않는 한 효율적인 기준이 존재하지 않음을 의미한다. 저자들은 정수 준정부형 프로그래밍으로의 환원을 제공하며, 고정된 시스템 차원에 대해서는 단일 샘플로도 효율적으로 해결 가능함을 보여, 현재의 양자 과정 단층촬영 실험과 실용적 관련성을 지닌다.

ABSTRACT

Completely positive, trace preserving (CPT) maps and Lindblad master equations are both widely used to describe the dynamics of open quantum systems. The connection between these two descriptions is a classic topic in mathematical physics. One direction was solved by the now famous result due to Lindblad, Kossakowski Gorini and Sudarshan, who gave a complete characterisation of the master equations that generate completely positive semi-groups. However, the other direction has remained open: given a CPT map, is there a Lindblad master equation that generates it (and if so, can we find it's form)? This is sometimes known as the Markovianity problem. Physically, it is asking how one can deduce underlying physical processes from experimental observations. We give a complexity theoretic answer to this problem: it is NP-hard. We also give an explicit algorithm that reduces the problem to integer semi-definite programming, a well-known NP problem. Together, these results imply that resolving the question of which CPT maps can be generated by master equations is tantamount to solving P=NP: any efficiently computable criterion for Markovianity would imply P=NP; whereas a proof that P=NP would imply that our algorithm already gives an efficiently computable criterion. Thus, unless P does equal NP, there cannot exist any simple criterion for determining when a CPT map has a master equation description. However, we also show that if the system dimension is fixed (relevant for current quantum process tomography experiments), then our algorithm scales efficiently in the required precision, allowing an underlying Lindblad master equation to be determined efficiently from even a single snapshot in this case. Our work also leads to similar complexity-theoretic answers to a related long-standing open problem in probability theory.

연구 동기 및 목표

• 주어진 완전 양성, 추적을 보존하는(CPT) 사상이 린드블라드 마스터 방정식에 의해 생성될 수 있는지 여부를 판단하는 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 양자 열린 시스템에서 마르코프성 문제의 계산 복잡도를 규명하기 위해.
• 복잡도 이론적 분석을 고전적 유사 문제인 확률행렬의 임bedding 문제로 확장하기 위해.
• 고정된 시스템 차원에 대해 마르코프성 문제를 효율적으로 해결할 수 있는 알고리즘을 제공하여 현재 실험적 설정과 관련성을 부여하기 위해.
• NP-난이도의 의미가 물리적 추론과 실험 데이터로부터 기본 마르코프성 동역학을 식별할 수 있는 가능성에 미치는 영향을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 마르코프성 문제를 알려진 NP-완전 문제인 정수 준정부형 프로그래밍으로 환원하기 위해.
• 특정 스펙트럼 성질을 가진 양자 CPT 사상에 1-in-3SAT 문제를 다항시간에 계산 가능한 인코딩 방식으로 구성하기 위해.
• 유효한 린드블라드 생성자만이 인코딩된 논리적 만족 가능성을 반영하도록 편미분 이론을 사용하기 위해.
• CPT 사상과 그 생성자 후보 간의 관계를 설정하기 위해 로그 행렬 표현과 약한 멤버십 공식화를 적용하기 위해.
• 양자 환원 기법을 확률행렬의 임베딩 문제에 적용하기 위해.
• 린드블라드 생성자에 의해 생성되는 CPT 사상의 집합이 내부가 비어 있지 않다는 사실을 활용하여 편미분 분석이 가능하도록 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CPT 사상이 린드블라드 마스터 방정식에 의해 생성될 수 있는지 여부에 대한 必요하고 충분한 조건이 존재하는가?
• RQ2 주어진 CPT 사상이 마르코프성임을 판단하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 연속 시간 마르코프 과정에 임베딩 가능한 확률행렬 문제를 알려진 NP-난이도 문제로 환원할 수 있는가?
• RQ4 마르코프성 문제의 복잡도는 시스템 차원에 따라 달라지며, 만약 그렇다면 그 의존성은 어떻게 되는가?
• RQ5 단일 양자 과정 단층촬영 샘플로부터 린드블라드 생성자를 재구성할 수 있는 효율적인 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• CPT 사상에 대한 마르코프성 문제는 NP-난이도이므로, P=NP가 성립하지 않는 한 효율적으로 계산 가능한 기준이 존재하지 않는다.
• 연속 시간 마르코프 과정에 임베딩 가능한 확률행렬 문제 역시 NP-난이도이다.
• 명시적인 알고리즘을 통해 마르코프성 문제를 정수 준정부형 프로그래밍으로 환원하며, 고정된 차원에 대해 구축 가능한 해법을 제공한다.
• 고정된 차원을 가진 시스템에서는 요구 정밀도에 대해 효율적으로 스케일링되며, 단일 샘플로부터 실용적인 재구성 가능하다.
• 마르코프성과 비마르코프성 CPT 사상의 집합은 유한 차원 공간 내에서 모두 내부가 비어 있고, 양의 측도를 가진다.
• 고전적 임베딩 문제의 복잡도는 양자 마르코프성 문제와 동일하며, 둘 다 P=NP 문제를 해결하는 것과 동치이다.