[논문 리뷰] The complexity of some regex crossword problems

Stephen Fenner|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 20.

semigroups and automata theory참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 행과 열 정규식이 동일한 경우에도 입력 인코딩에 따라 해가 존재하는지 여부가 NP-완전성 또는 결정불가능성임을 증명하며, 정규식 크로스워드 퍼즐의 계산 복잡도를 구조적 제약 조건 하에서 조사한다. 주요 결과로는, 유니터리 차원을 가진 고정된 열 정규식을 가진 퍼즐의 NP-완전성, 대칭 퍼즐의 NP-난이도, 그리고 두 차원 테이블로를 통한 튜링 기계 시뮬레이션을 통한 임의의 크기에서의 존재성에 대한 결정불가능성 등을 입증한다.

ABSTRACT

In a typical regular expression (regex) crossword puzzle, you are given two nonempty lists $R_1,\ldots,R_m$ and $C_1,\ldots,C_n$ of regular expressions over some alphabet, and your goal is to fill in an $m imes n$ grid with letters from that alphabet so that the string formed by the $i$th row is in $L(R_i)$, and the string formed by the $j$th column is in $L(C_j)$, for all $1\le i\le m$ and $1\le j\le n$. Such a grid is a solution to the puzzle. It is known that determining whether a solution exists is NP-complete. We consider a number of restrictions and variants to this problem where all the $R_i$ are equal to some regular expression $R$, and all the $C_j$ are equal to some regular expression $C$. We call the solution to such a puzzle an $(R,C)$-crossword. Our main results are the following: 1. There exists a fixed regular expression $C$ over the alphabet $\{0,1\}$ such that the following problem is NP-complete: "Given a regular expression $R$ over $\{0,1\}$ and positive integers $m$ and $n$ given in unary, does an $m imes n$ $(R,C)$-crossword exist?" This improves the result mentioned above. 2. The following problem is NP-hard: "Given a regular expression $E$ over $\{0,1\}$ and positive integers $m$ and $n$ given in unary, does an $m imes n$ $(E,E)$-crossword exist?" 3. There exists a fixed regular expression $C$ over $\{0,1\}$ such that the following problem is undecidable (equivalent to the Halting Problem): "Given a regular expression $R$ over $\{0,1\}$, does an $(R,C)$-crossword exist (of any size)?" 4. The following problem is undecidable (equivalent to the Halting Problem): "Given a regular expression $E$ over $\{0,1\}$, does an $(E,E)$-crossword exist (of any size)?"

연구 동기 및 목표

• 모든 행과 열 정규식이 동일한 구조적 제약 조건 하에서 정규식 크로스워드 퍼즐의 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 이러한 제약 조건 하에서도 해의 존재성이 여전히 NP-난이도이거나 결정불가능성이 되는지 여부를 판단하는 것.
• 입력 인코딩(유니터리 대비 이진)이 문제의 복잡도에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 특히 하프팅 문제와 관련하여 임의의 크기의 크로스워드에서 존재성의 결정 가능성을 탐구하는 것.
• 행과 열 표현식이 동일한 대칭 케이스로 결과를 확장하고, 두 명의 플레이어 게임 및 무한 크기 격자 변형에 대한 함의를 고려하는 것.

제안 방법

• 일 테일 튜링 기계의 계산을 두 차원 테이블로 직접 인코딩하며, 행은 구성 상태를 나타내고 열은 전이의 합법성 조건을 강제한다.
• 크로스워드 격자 내에서 전이 함수와 테이프 헤드 이동을 시뮬레이션하기 위해 {0,1}에서 정의된 고정된 정규식 $ C $를 사용한다.
• SAT 문제를 $(R,C)$-크로스워드 문제로 감소시키는 쿡-레빈 정리 스타일의 구성 기법을 적용하여, 유니터리 인코딩 하에서 NP-완전성을 증명한다.
• 차원이 유니터리로 주어지면, 심지어 모든 행과 열 표현식이 동일하더라도 문제의 복잡도가 여전히 NP-완전함을 입증한다.
• 차원이 이진으로 주어지면 문제는 NEXP-완전성이 되며, 유니터리/이진 혼합일 경우 PSPACE-완전성이 된다는 것을 보여준다.
• 해결 불가능성을 입증하기 위해 하프팅 문제에서의 감소를 사용하여, 고정된 $ C $를 가진 경우에도 임의의 크기 격자에서 해의 존재성 문제가 결정불가능함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 행 정규식이 동일하고 모든 열 정규식이 고정된 $ C $로 설정되며, 차원이 유니터리로 주어질 경우 $(R,C)$-크로스워드의 존재성 문제가 NP-완전한가?
• RQ2 모든 표현식이 동일한 경우에도 $(E,E)$-크로스워드의 존재성 문제 결정이 NP-난이도인가?
• RQ3 고정된 정규식 $ C $에 대해 $(R,C)$-크로스워드의 존재성 문제가 결정불가능한 경우는 어떤가?
• RQ4 차원이 유니터리가 아니라 이진으로 주어질 경우 $(R,C)$-크로스워드 존재성 문제의 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ5 고정된 $ E $일지라도 $(E,E)$-크로스워드의 존재성 문제가 결정불가능한가?

주요 결과

• 유니터리로 주어진 차원을 가진 $(R,C)$-크로스워드 존재성 문제에 대해, {0,1}에서 정의된 고정된 정규식 $ C $가 존재하며, 이 경우 문제는 NP-완전하다.
• 모든 표현식이 동일한 경우에도 $(E,E)$-크로스워드 존재성 문제 결정은 NP-난이도이다.
• 고정된 $ C $에 대해, 어떤 크기의 $(R,C)$-크로스워드가 존재하는지 여부는 결정불가능하며, 하프팅 문제와 동치이다.
• 임의의 크기에서 $(E,E)$-크로스워드 존재성 문제도 결정불가능하며, 하프팅 문제와 동치이다.
• 차원이 이진으로 주어지면, $(R,C)$-크로스워드 존재성 문제는 다항 시간 감소 하에 NEXP-완전성이 된다.
• 한 차원은 유니터리, 다른 한 차원은 이진으로 주어지면 문제는 PSPACE-완전성이 된다.