[논문 리뷰] The Complexity of Stoquastic Local Hamiltonian Problems

Sergey Bravyi, David P. DiVincenzo외 2명|arXiv (Cornell University)|2006. 06. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 계산 복잡도 이론에서 계산 기저에서 비대칭 행렬 원소가 음수 또는 0인 스토쿠아스틱 해밀토니안에 대한 局부 해밀토니안 문제(LH-MIN)의 계산 복잡도를 조사한다. 2-로컬 스토쿠아스틱 LH-MIN이 MA-완전임을 보이며, 일반적인 스토쿠아스틱 LH-MIN 문제는 복잡도 클래스 AM에 속함을 보여준다. 또한 다항 스펙트럴 갭 조건을 가정할 경우, PostBPP에 속함을 보이며, 이는 스토쿠아스틱 해밀토니안을 사용한 어드아바틱 양자 계산이 PostBPP 내에서 시뮬레이션 가능함을 의미한다.

ABSTRACT

We study the complexity of the Local Hamiltonian Problem (denoted as LH-MIN) in the special case when a Hamiltonian obeys conditions of the Perron-Frobenius theorem: all off-diagonal matrix elements in the standard basis are real and non-positive. We will call such Hamiltonians, which are common in the natural world, stoquastic. An equivalent characterization of stoquastic Hamiltonians is that they have an entry-wise non-negative Gibbs density matrix for any temperature. We prove that LH-MIN for stoquastic Hamiltonians belongs to the complexity class AM -- a probabilistic version of NP with two rounds of communication between the prover and the verifier. We also show that 2-local stoquastic LH-MIN is hard for the class MA. With the additional promise of having a polynomial spectral gap, we show that stoquastic LH-MIN belongs to the class POSTBPP=BPPpath -- a generalization of BPP in which a post-selective readout is allowed. This last result also shows that any problem solved by adiabatic quantum computation using stoquastic Hamiltonians lies in PostBPP.

연구 동기 및 목표

• 스토쿠아스틱 해밀토니안에 대한 국소 해밀토니안 문제(LH-MIN)의 계산 복잡도를 이해하기 위해, 물리계에서 흔히 나타나며 계산 기저에서 비대칭 행렬 원소가 음수 또는 0인 해밀토니안을 대상으로 한다.
• 스토쿠아스틱 LH-MIN에 대해 효율적인 고전적 또는 양자 증명 프로토콜이 존재하는지 판단하기 위해, 비음수 깁스 행렬에 기인한 고전적 시뮬레이션 가능성을 고려한다.
• 스토쿠아스틱 LH-MIN이 속하는 복잡도 클래스를 규명하며, 특히 다항 스펙트럴 갭과 같은 추가적인 구조적 가정 하에서의 성질을 분석한다.
• 어드아바틱 양자 계산에 대한 영향을 탐색하여, 스토쿠아스틱 어드아바틱 진동이 PostBPP에 포함됨을 보여준다.

제안 방법

• 저자들은 계산 기저에서 실수이자 음수 또는 0인 비대칭 행렬 원소를 가지는 해밀토니안을 스토쿠아스틱 해밀토니안으로 정의하며, 이는 모든 역온도에서 비음수 행렬 원소를 가지는 깁스 밀도 행렬을 유도함을 의미한다.
• 선형 대수학을 사용하여 이러한 해밀토니안의 기본 상태가 계산 기저에서 비음수 실수 계수를 가짐을 보이며, 이는 계산 기저 상태에 대한 확률 분포를 통해 확률적 해석이 가능함을 보여준다.
• 증명 기법은 비음수 기본 상태와 그로부터의 효율적 샘플링 능력을 활용하여 이중 라운드 상호작용 증명 시스템(AM)을 구성하는 데 있다.
• PostBPP 결과를 얻기 위해, 다항 스펙트럴 갭을 가정하고, 후선택(post-selection)을 사용하여 고전적 확률적 계산을 통해 기본 상태 에너지 추정을 시뮬레이션한다.
• 퍼터베이션 이론과 자기에너지 전개를 사용하여 3 큐비트 기능장치를 분석하며, 고차항 보정 항이 유한하고 주요 복잡도 주장에 영향을 주지 않음을 보여준다.
• 비결정성 트루스 머신과 경로 수세기 기반의 감소 및 시뮬레이션을 통해 복잡도 클래스 포함성을 확립하며, 인식된 언어가 PostBPP에 속함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토쿠아스틱 해밀토니안에 대한 국소 해밀토니안 문제는 효율적인 고전적 증명 프로토콜을 허용하는 복잡도 클래스에 포함되는가?
• RQ2 스토쿠아스틱 해밀토니안의 기본 상태를 이용하여 확률 분포를 정의하고, 기본 상태 에너지를 고전적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ3 다항 스펙트럴 갭이 존재할 경우, 스토쿠아스틱 LH-MIN 문제는 PostBPP, 즉 BPP의 후선택 일반화 버전에서 해결 가능한가?
• RQ4 2-로컬 스토쿠아스틱 LH-MIN은 MA-완전이며, 일반적인 경우에 양자 증명이 필수적임을 나타내는가?
• RQ5 스토쿠아스틱 해밀토니안을 사용한 어드아바틱 양자 계산은 효율적으로 고전적으로 시뮬레이션 가능한가? 만약 그렇다면 어느 복잡도 클래스에 속하는가?

주요 결과

• 일반적인 스토쿠아스틱 국소 해밀토니안 문제(LH-MIN)는 복잡도 클래스 AM에 포함되며, 이는 일정한 통신량을 가진 이중 라운드 고전적 상호작용 증명 시스템이 존재함을 의미한다.
• 2-로컬 스토쿠아스틱 LH-MIN은 클래스 MA에 대해 완전하며, 이는 이 하위집합에 대해 양자 증명이 필수적이고 충분함을 보여준다.
• 다항 스펙트럴 갭 조건을 가정할 경우, 스토쿠아스틱 LH-MIN은 PostBPP = BPPpath에 속하며, 이는 문제를 고전적 확률적 계산과 후선택을 통해 해결할 수 있음을 의미한다.
• 모든 스토쿠아스틱 해밀토니안의 기본 상태는 계산 기저에서 비음수 실수 계수를 가지며, 이는 직접적인 확률적 해석과 샘플링 기반의 기본 상태 에너지 추정을 가능하게 한다.
• 스토쿠아스틱 해밀토니안을 사용한 어드아바틱 양자 계산은 PostBPP 내에서 시뮬레이션 가능하며, 이는 이러한 양자 알고리즘이 고전적 후선택 계산을 초월한 양자 우월성을 제공하지 않음을 의미한다.
• 3 큐비트 기능장치의 효과적 해밀토니안에 대한 고차항 퍼터베이션 보정 항은 유한하며, 작은 δ에 대해 노름 기준 O(δ)로 유계이며, 복잡도 분류에 영향을 주지 않는다.