[논문 리뷰] The Complexity of Testing Properties of Simple Games

Josep Freixas, Xavier Molinero외 2명|ArXiv.org|2008. 03. 04.

Artificial Intelligence in Games참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 간단한 게임, 즉 예/아니요 투표 제도의 형식적 기법에서 성질을 변환하고 테스트하는 데 필요한 계산 복잡도를 분석한다. 일부 쌍에 대해서는 변환 과정이 다항식 시간에 가능하지만 다른 쌍에 대해서는 지수시간이 소요되며, 단순성, 가중치 부여 가능성, 강도 및 결정성과 같은 구조적 성질을 테스트하는 것은 표현 방식에 따라 co-NP-완전 또는 다항식 시간에 가능하다. 주요 기여는 다양한 게임 표현 방식과 성질에 걸쳐 포괄적인 복잡도 분류를 제공하는 데 있다.

ABSTRACT

Simple games cover voting systems in which a single alternative, such as a bill or an amendment, is pitted against the status quo. A simple game or a yes-no voting system is a set of rules that specifies exactly which collections of ``yea'' votes yield passage of the issue at hand. A collection of ``yea'' voters forms a winning coalition. We are interested on performing a complexity analysis of problems on such games depending on the game representation. We consider four natural explicit representations, winning, loosing, minimal winning, and maximal loosing. We first analyze the computational complexity of obtaining a particular representation of a simple game from a different one. We show that some cases this transformation can be done in polynomial time while the others require exponential time. The second question is classifying the complexity for testing whether a game is simple or weighted. We show that for the four types of representation both problem can be solved in polynomial time. Finally, we provide results on the complexity of testing whether a simple game or a weighted game is of a special type. In this way, we analyze strongness, properness, decisiveness and homogeneity, which are desirable properties to be fulfilled for a simple game.

연구 동기 및 목표

• 간단한 게임을 한 명시적 표현 방식에서 다른 표현 방식으로 변환하는 데 필요한 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 특정 표현 방식이 주어졌을 때 간단한 게임이 가중치를 가졌는지 여부를 테스트하는 데 필요한 복잡도를 분류하는 것.
• 간단한 게임의 구조적 성질, 예를 들어 강도, 적절성, 결정성, 동질성 등을 검증하는 데 필요한 복잡도를 규명하는 것.
• 승리, 최소 승리, 패배, 최대 패배 연합을 포함한 네 가지 자연스러운 표현 방식에 걸쳐 체계적인 복잡도 분류를 제공하는 것.
• 기존의 가중치 게임 연구를 확장하여 명시적 표현과 압축 표현 모두에서 복잡도를 분석하는 것.

제안 방법

• 승리 연합, 최소 승리 연합, 패배 연합, 최대 패배 연합의 네 가지 명시적 형태로 단순 게임을 표현하는 것.
• 게임 가족을 압축 표현하기 위해 부울 공식을 사용하여, NP-완전 문제로부터의 감소를 통한 복잡도 분석을 가능하게 하는 것.
• 단조성 및 만족 가능성 문제를 감소시켜 단순성 및 비최소성/비최대성 검증을 위한 co-NP-완전성 증명을 적용하는 것.
• 포함성 및 최소성/최대성 검사를 통해 표현 간 변환을 분석하여, 일부 경우는 다항식 시간에 가능하고 다른 경우는 지수시간에 소요됨을 보이는 것.
• SAT 및 그 변종 문제로부터의 감소를 통해 압축 표현에서 비최소 또는 비최대 집합을 인식하는 데 co-NP-난이도를 증명하는 것.
• 게임 차원 및 권력 지수에 관한 기존 결과를 활용하여 복잡도 발견의 맥락을 제공하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 승리 연합과 같은 명시적 표현에서 최소 승리 연합과 같은 다른 표현으로 단순 게임을 변환하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가요?
• RQ2 게임이 네 가지 표현 중 하나로 표현되었을 때, 다항식 시간 내에 게임이 가중치를 가졌는지 여부를 테스트할 수 있을까요?
• RQ3 주어진 표현 방식에 기반해 단순 게임이 강도, 적절성, 결정성, 동질성을 갖는지 여부를 판단하는 데 필요한 복잡도는 무엇인가요?
• RQ4 압축 부울 표현을 사용할 경우, 구조적 성질을 테스트하는 데 필요한 복잡도는 어떻게 변화합니까?
• RQ5 최소 승리 또는 최대 패배 형태로 주어진 게임이 다수결(또는 결정성)임을 판단하는 문제는 co-NP-완전인가요?

주요 결과

• 승리 연합에서 최소 승리 연합으로, 또는 패배 연합에서 최대 패배 연합으로의 변환은 다항식 시간 내에 수행 가능하다.
• 최소 승리 연합에서 승리 연합으로, 또는 최대 패배 연합에서 패배 연합으로의 변환은 최악의 경우 지수시간이 소요된다.
• 압축 부울 공식으로 표현된 게임의 경우, 게임이 단순한지 여부(즉, 단조성 여부)를 테스트하는 것은 co-NP-완전하다.
• 게임이 가중치를 가졌는지 여부를 테스트하는 것은 사용된 명시적 표현 방식에 관계없이 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 압축 표현을 사용할 경우 강도, 적절성, 동질성, 결정성 등의 성질을 테스트하는 것은 co-NP-완전하다.
• 최소 승리 또는 최대 패배 형태로 주어진 게임이 다수결(등가로 결정성)임을 판단하는 문제에 대해, 이를 co-NP-완전이라고 추측하고 있다.