[논문 리뷰] The compositional inverse of a class of linearized permutation polynomials over $\mathbb{F}_{2^n}$, $n$ odd

Baofeng Wu|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 07.

Coding theory and cryptography참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $n$ 이 홀수일 때, $\mathbb{F}_{2^n}$ 위에서 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ 형태이면서 $\operatorname{tr}(1/a) = 1$인 특정 클래스의 선형화 치환다항식의 조합적 역함수를 명시적으로 결정한다. 딕슨 행렬과 추적 기호의 성질을 사용하여, 역함수는 $P^{-1}(x) = B_a(x) + \operatorname{tr}(x)$로 나타나며, 여기서 $B_a(x)$는 특정 색인 집합 위에서의 중첩 추적 표현과 곱으로 표현된 계수를 가진 선형화 다항식임을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, the compositional inverses of a class of linearized permutation polynomials of the form $P(x)=x+x^2+ r(\frac{x}{a})$ over the finite field $\mathbb{F}_{2^n}$ for an odd positive integer $n$ are explicitly determined.

연구 동기 및 목표

• 홀수 $n$ 인 $\mathbb{F}_{2^n}$ 위에서 특정 선형화 치환다항식의 조합적 역함수에 대한 명시적 폐형 표현을 유도하는 것.
• 간단한 대수적 형태를 가졌지만 복잡한 역함수를 가지는 치환다항식의 조합적 역함수를 계산하는 데 오랫동안 남아있던 과제를 해결하는 것.
• 특히 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$의 역함수를 추적 기호와 행렬 행렬식 항등식을 통해 체계적으로 표현하는 방법을 수립하는 것.

제안 방법

• 체 원소의 반복 프로베누스 거듭제곱의 합을 압축적으로 표현하기 위해 기호적 표기 $c\langle i_1, \dots, i_t \rangle = \sum_{j=1}^t c^{2^{i_j}}$ 를 도입한다.
• 딕슨 행렬 이론을 적용하여 선형화 PPs의 조합적 역함수를 그에 관련된 행렬의 역행렬과 연결하며, 정리 1.1인 $D_{L^{-1}} = D_L^{-1}$ 을 활용한다.
• 라플라스 전개와 행렬식 항등식을 사용하여 역다항식의 계수를 계산하고, 문제를 딕슨 행렬의 특정 소행렬식 계산으로 환원한다.
• 추적 함수의 재귀적 분해와 대칭성 성질을 활용하여 $a[\cdot]$ 항을 포함한 복잡한 행렬식 표현을 단순화한다.
• 특히 $i = 0, 2, \dots, n-1$ 과 홀수 $i$ 에 대해 재귀적 관계와 추적 기반 항등식을 통해 $B_a(x)$의 계수 $b_i$ 에 대한 명시적 공식을 도출한다.
• 추적과 노름 성질을 사용한 계수 항등식의 검증을 통해 $P(P^{-1}(x)) \equiv x \mod (x^{2^n} - x)$ 임을 확인함으로써 역함수의 정확성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 $n$ 이고 $\operatorname{tr}(1/a) = 1$일 때, $\mathbb{F}_{2^n}$ 위에서 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ 의 조합적 역함수는 어떻게 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 역다항식의 계수는 어떤 구조를 가지며, 추적 함수와 대칭적인 색인 집합을 사용하여 폐형으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 다항식 $P(x)$ 와 관련된 딕슨 행렬의 역행렬을 사용하여 이러한 선형화 PPs의 조합적 역함수에 대한 일반 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 추적 사상과 프로베누스 자기동형사상의 대칭성과 대수적 성질은 이 맥락에서 행렬식 계산을 어떻게 단순화하는가?

주요 결과

• 다항식 $P(x) = x + x^2 + \operatorname{tr}(x/a)$ 의 조합적 역함수는 $P^{-1}(x) = B_a(x) + \operatorname{tr}(x)$ 로 명시적으로 주어지며, 여기서 $B_a(x) = \sum_{i=0}^{n-1} b_i x^{2^i}$ 이고 계수 $b_i$ 는 추적 기호와 색인 집합 위의 곱으로 표현된다.
• 짝수 $i$ 에 대해 계수 $b_0 = \frac{1}{a}\langle 2,4,6,\dots,n-1 \rangle$, 홀수 $i$ 에 대해 $b_i = \frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{a}\langle 1,3,\dots,i,i+1,i+3,\dots,n-1 \rangle\right)$ 이다.
• 역행렬의 계수 $\tilde{p}_i$ 는 라플라스 전개를 통해 유도되었으며, 짝수 $i$ 에 대해 $\frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{a}\langle 1,3,\dots,i,i+1,i+3,\dots,n-1 \rangle\right)$ 와 같고, 홀수 $i$ 에 대해서도 유사한 형태를 가진다.
• 역행렬의 항 $\tilde{p}_i$ 는 노름 $\mathrm{N}(a)$ 와 곱 $a[\cdot]$ 를 사용하여 표현되며, $i = n-2$ 에 대해 $\tilde{p}_i = \frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{a}\langle 1,3,\dots,n-2,n-1 \rangle\right)$ 와 같은 항등식이 성립한다.
• 최종적으로 얻어진 역다항식은 $P(P^{-1}(x)) \equiv x \mod (x^{2^n} - x)$ 를 만족하여, 행렬식과 추적 항등식을 통한 검증을 통해 정확성이 확인된다.
• 이 방법은 $\operatorname{tr}(1/a) = 1$ 조건 하에 모든 홀수 $n$ 에 대해 일반화되며, 일관된 공식을 제공한다.