[논문 리뷰] The compositional inverses of linearized permutation binomials over finite fields

Baofeng Wu|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 09.

Coding theory and cryptography참고 문헌 1인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한체 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 위에서 형태 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $인 선형화 순열 이항식의 조합적 역함수에 대한 명시적 공식을 제공한다. 이는 문제를 $ L_1(x) $의 역함수를 계산하는 것으로 환원하는 감소 기법을 활용하며, 이는 Theorem 1.1을 통해 다루기 쉬운 것으로 간주된다. 핵심 결과는 $ (-1)^{n/d} \mathrm{N}_{n:d}(a) \neq 1 $ 조건을 만족할 때, $ d = \gcd(n,r) $ 인 경우에 norm 사상과 $ a $의 거듭제곱을 이용한 $ L_r^{-1}(x) $ 의 닫힌 형식 표현이다.

ABSTRACT

Let $q$ be a prime power and $n$ and $r$ be positive integers. It is well known that the linearized binomial $L_r(x)=x^{q^r}+ax\in\mathbb{F}_{q^n}[x]$ is a permutation polynomial if and only if $(-1)^{n/d}a^{{(q^n-1)}/{(q^{d}-1)}} eq 1$ where $d=(n,r)$. In this paper, the compositional inverse of $L_r(x)$ is explicitly determined when this condition holds.

연구 동기 및 목표

• 선형화 이항식 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ 가 순열 다항식일 경우, $ \mathbb{F}_{q^n} $ 위에서의 조합적 역함수를 결정하는 것.
• L_r(x) 와 관련된 큰 딕슨 행렬의 행렬식과 여인수를 계산하는 데 어려움을 해결하는 것.
• 일반적인 $ L_r(x) $ 의 경우를 더 단순한 $ L_1(x) $ 의 경우로 환원하여, 알려진 결과를 통해 명시적 역함수 계산이 가능하도록 하는 것.
• 이러한 방법을 다른 유형의 선형화 순열 다항식에 일반화하는 것.
• 직접 큰 행렬의 역행렬을 계산하는 것을 피하는 구조적 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 최대공약수 $ \gcd(n,r) = d $ 인 조건 하에서, 체의 자기동형사상과 동형사상 성질을 활용하여 $ L_r(x) $ 문제를 $ L_1(x) $ 의 경우로 환원하는 것.
• 조합적 역함수와 관련된 딕슨 행렬의 역행수를 연결하는 Theorem 1.1 의 적용.
• $ L_1(x) $ 의 딕슨 행렬의 첫 번째 열의 여인수를 명시적으로 계산하여, 그 역행수에 대한 닫힌 형식 표현을 도출하는 것.
• 역행수 계수를 표현하기 위해 norm 사상 $ \mathrm{N}_{n:d}(a) = a^{(q^n - 1)/(q^d - 1)} $ 의 사용.
• 역다항식 $ L_r^{-1}(x) $ 를 $ x^{q^{ir}} $ 항들의 선형결합으로 표현하며, 계수는 $ (-1)^i \mathrm{N}(a) a^{-\frac{q^{i+1} - 1}{q - 1}} $ 를 포함하는 것.
• 기저 확장과 행렬 순열 논증을 사용하여, $ \gcd(n,t) = 1 $ 일 때 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 위의 선형화 순열 다항식을 $ \mathbb{F}_{q^{nt}} $ 로 확장하는 방법의 일반화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 행렬 역행렬 기법이 비가역적인 경우, $ \mathbb{F}_{q^n} $ 위에서 선형화 순열 이항식 $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ 의 조합적 역함수를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 r 과 n 에 따라 의존하는 $ L_r(x) $ 의 역함수 계산을 단순화하기 위해 적용할 수 있는 구조적 환원은 무엇인가?
• RQ3 $ L_r(x) $ 의 역함수는 $ L_1(x) $ 의 역함수로부터 유도될 수 있는가? 이러한 환원이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 역함수의 특성화와 순열 성질을 보장하는 데 norm 사상 $ \mathrm{N}_{n:d}(a) $ 가 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 이항식에 사용된 방법이 삼항식이나 고차 다항식 형태의 다른 선형화 순열 다항식 클래스로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• $ L_r(x) = x^{q^r} + ax $ 의 조합적 역함수는 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 위에서 명시적으로 $ L_r^{-1}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i x^{q^{ir}} $ 로 주어지며, 계수 $ c_i $ 는 $ a $, norm $ \mathrm{N}(a) $, 그리고 $ q $ 의 거듭제곱을 포함한다.
• $ 1 \leq i \leq n-2 $ 인 경우, 계수 $ c_i = (-1)^i \mathrm{N}(a) a^{-\frac{q^{i+1} - 1}{q - 1}} $ 이고, $ c_{n-1} = (-1)^{n-1} $ 이며, $ \mathrm{N}(a) = a^{(q^n - 1)/(q - 1)} $ 이다.
• 역함수가 존재하는 것은 $ (-1)^{n/d} \mathrm{N}_{n:d}(a) \neq 1 $ 인 것과 동치이며, 여기서 $ d = \gcd(n,r) $ 이다. 이는 기존의 순열 기준과 일치한다.
• 이 방법은 일반적인 $ L_r(x) $ 의 경우를 $ r=1 $ 의 경우로 환원하여, Theorem 1.1 을 통해 여인수 계산을 통해 다루기 쉬운 역함수를 도출한다.
• 일반화 결과로, $ \mathbb{F}_{q^n} $ 위에서 선형화 순열 다항식 $ L(x) $ 가 주어지면, $ \gcd(n,t) = 1 $ 이면 $ \bar{L}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} a_{ti} x^{q^{ti}} $ 는 $ \mathbb{F}_{q^{nt}} $ 위에서 순열 다항식이 된다.
• 결과적으로 선형화 순열 다항식의 역함수는 직접적인 행렬 역행렬 계산을 피하면서도 norm 사상과 대수적 항등식을 사용하여 명시적으로 구성할 수 있음을 보여준다.