[논문 리뷰] The Compound Class of Linear Failure Rate-Power Series Distributions: Model, Properties and Applications

Eisa Mahmoudi, Ali Akbar Jafari|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 21.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복합적인 고장률 형태를 모델링하기 위해 선형 고장률 분포와 멱급수 분포를 조합한 유연한 복합 클래스인 선형 고장률-멱급수(LFRPS) 분포를 소개한다. 이 모델은 증가하는, 감소하는, 배럴형, 뒤집힌 배럴형, 증가-감소-증가하는 고장률을 모두 지원하며, 잠재변수를 고려한 EM 알고리즘을 통해 효율적인 추정이 가능하고, 기존의 하위 모델 및 기존 분포들과 비교해 실제 데이터에 더 뛰어난 적합성을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce in this paper a new class of distributions which generalizes the linear failure rate (LFR) distribution and is obtained by compounding the LFR distribution and power series (PS) class of distributions. This new class of distributions is called the linear failure rate-power series (LFRPS) distributions and contains some new distributions such as linear failure rate geometric (LFRG) distribution, linear failure rate Poisson (LFRP) distribution, linear failure rate logarithmic (LFRL) distribution, linear failure rate binomial (LFRB) distribution and Raylight-power series (RPS) class of distributions. Some former works such as exponential-power series (EPS) class of distributions, exponential geometric (EG) distribution, exponential Poisson (EP) distribution and exponential logarithmic (EL) distribution are special cases of the new proposed model. The ability of the LFRPS class of distributions is in covering five possible hazard rate function i.e., increasing, decreasing, upside-down bathtub (unimodal), bathtub and increasing-decreasing-increasing shaped. Several properties of the LFRPS distributions such as moments, maximum likelihood estimation procedure via an EM-algorithm and inference for a large sample, are discussed in this paper. In order to show the flexibility and potentiality of the new class of distributions, the fitted results of the new class of distributions and some its submodels are compared using a real data set.

연구 동기 및 목표

• 선형 고장률(LFR) 분포와 멱급수(PS) 분포를 복합화하여 수명 분포의 새로운 유연한 클래스를 개발하기 위해.
• 신뢰성 및 생존 분석에서 흔히 관찰되는 배럴형, 단일극대형, 증가-감소-증가형과 같은 비단조화 고장률 행동을 모델링할 수 있도록 하기 위해.
• 기존의 잘 알려진 분포들인 지수-멱급수, 웨이불-멱급수, 확장된 LFR 등을 특수한 경우로 포함하는 통합 프레임워크를 제공하기 위해.
• 잠재변수가 존재하는 상황에서 최대우도 추정을 위한 효율적인 추정 절차를 개발하기 위해 EM 알고리즘을 활용하기 위해.
• 실제 데이터 적용 사례를 통해 모델의 우수성을 입증하고, 하위 모델 및 기존 분포들과의 비교를 통해 성능을 검증하기 위해.

제안 방법

• 선형 고장률(LFR) 분포와 멱급수(PS) 분포를 복합화하여 LFRPS 분포를 구성하며, 구성 요소 수 N은 확률질량함수 $ P(N=n) = \frac{a_n \theta^n}{C(\theta)} $ 를 가진 멱급수 분포를 따른다.
• 유도된 생존함수는 $ S(x) = \frac{C(\theta G(x))}{C(\theta)} $ 로 표현되며, 여기서 $ G(x) = 1 - \exp(-a x - \frac{b}{2} x^2) $ 는 LFR의 누적분포함수이다.
• 최대우도 추정을 위해 EM 알고리즘을 적용하며, E단계에서는 잠재변수의 조건부 기대값을 계산하고, M단계에서는 $ a $, $ b $, 및 $ \theta $ 에 대해 반복적 근구하기 방법을 통해 매개변수를 갱신한다.
• 알고리즘은 동일한 LFR-분포를 가진 구성 요소를 가진 시리즈 시스템을 모델링하기 위해 확률적 표현 $ Y = \min(X_1, \dots, X_N) $ 을 사용한다.
• 수렴성과 추정 정확도를 평가하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 알고리즘을 검증한다.
• 기하, 포아송, 로그형, 이항분포 등 멱급수 분포를 특정화함으로써 LFRG, LFRP, LFRL, LFRB, 레일라이흐-멱급수(RPS) 등의 특수한 경우를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LFR와 PS 분포를 복합화한 분포 클래스가 배럴형, 단일극대형과 같은 비단조화 패턴을 포함한 다양한 고장률 형태를 모델링할 수 있는가?
• RQ2 LFRPS 모델은 기존의 모델들인 지수-멱급수 및 확장된 LFR 분포들과 비교해 실제 수명 데이터에 대해 얼마나 우수한 적합성을 보이는가?
• RQ3 특히 수렴성과 정확도 측면에서 LFRPS 모델의 매개변수 추정에 대해 EM 알고리즘이 어떤 성능을 보이는가?
• RQ4 다양한 매개변수 설정 하에서 LFRPS 분포의 분석적 성질, 예를 들어 모멘트와 고장률 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 LFRPS 클래스는 지수-기하(EG), 지수-포아송(EP), 지수-로그형(EL), 웨이불-기하(WG) 등의 기존 수명 분포들을 통합 및 일반화할 수 있는가? 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한가?

주요 결과

• LFRPS 클래스는 증가, 감소, 뒤집힌 배럴형(단일극대형), 배럴형, 증가-감소-증가형의 다섯 가지 고장률 형태를 지원하여, 신뢰성 및 생존 모델링에 매우 뛰어난 유연성을 제공한다.
• EM 알고리즘은 안정적이고 수렴 가능한 매개변수 추정을 보장하며, 각 반복에서 $ a $, $ b $, $ \theta $ 의 점수방정식에 대해 유일한 근이 존재한다는 이론적 증명이 이루어졌다.
• LFRPS 모델은 지수-멱급수(EPS), 확장된 LFR(ELF), 레일라이흐-멱급수(RPS) 등 잘 알려진 분포들을 특수한 경우로 포함하여 그 일반성과 타당성을 입증하였다.
• 시뮬레이션 연구 결과, EM 알고리즘이 효과적이며 다양한 시나리오에서 정확하고 일관된 매개변수 복원 성능을 보였다.
• 실제 데이터 적용 사례에서 LFRPS 모델과 그 하위 모델들(LFRG, LFRP 등)은 AIC, BIC, 콜모고로프-스미르노프 검정 통계량 측면에서 기존의 지수, 웨이불, LFR 모델보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 모델은 생물학적 및 산업적 시스템에서 흔히 관찰되는 비단조화 고장률을 잘 포착할 수 있어 강력한 경험적 성능을 보였다.