[논문 리뷰] The computation of disconnected bifurcation diagrams

Patrick E. Farrell, Casper H. L. Beentjes외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 02.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 23인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 데프레이션 연속법(deflated continuation)이라는 새로운 알고리즘을 소개한다. 이 알고리즘은 해를 제거하는 데프레이션 기법을 사용해 기존의 해를 제거함으로써 뉴턴 방법이 분기점 탐지나 고비용의 고유값계산에 의존하지 않고도 여러 분기 브랜치를 발견할 수 있도록 한다. 이는 기존의 스위칭 연속법으로는 발견하지 못한, 특히 비정상적(짝수중복도) 분기점에서 발생하는 브랜치까지도 성공적으로 복원하며, 좋은 조절자(preconditioner)가 제공되는 경우 대규모 PDE 이산화 문제에서도 안정적으로 수렴한다.

ABSTRACT

Arclength continuation and branch switching are enormously successful algorithms for the computation of bifurcation diagrams. Nevertheless, their combination suffers from three significant disadvantages. The first is that they attempt to compute only the part of the diagram that is continuously connected to the initial data; disconnected branches are overlooked. The second is that the subproblems required (typically determinant calculation and nullspace construction) are expensive and hard to scale to very large discretizations. The third is that they can miss connected branches associated with nonsimple bifurcations, such as when an eigenvalue of even multiplicity crosses the origin. Without expert knowledge or lucky guesses, these techniques alone can paint an incomplete picture of the dynamics of a system. In this paper we propose a new algorithm for computing bifurcation diagrams, called deflated continuation, that is capable of overcoming all three of these disadvantages. The algorithm combines classical continuation with a deflation technique that elegantly eliminates known branches from consideration, allowing the discovery of disconnected branches with Newton's method. Deflated continuation does not rely on any device for detecting bifurcations and does not involve computing eigendecompositions; all subproblems required in deflated continuation can be solved efficiently if a good preconditioner is available for the underlying nonlinear problem. We prove sufficient conditions for the convergence of Newton's method to multiple solutions from the same initial guess, providing insight into which unknown branches will be discovered. We illustrate the success of the method on several examples where standard techniques fail.

연구 동기 및 목표

• 표준 아크길이 연속법과 브랜치 스위칭이 분리된 또는 비정상적 분기 브랜치를 발견하지 못하는 데러 문제를 해결하기 위해.
• 예를 들어 뉴턴 행렬의 행렬식이나 영공간(nullspace)을 계산하는 것과 같은 고비용의 분기점 탐지 기법이 필요 없도록 하기 위해.
• 짝수중복도 고유값 교차를 포함한 전체 분기 다이어그램을 계산할 수 있는 확장 가능한 방법을 개발하기 위해.
• 한 번의 초기 추정치로부터 뉴턴 방법에 데프레이션을 적용하여 여러 해로 수렴할 수 있도록 하기 위해.
• 대규모 PDE 분기 분석에 적합하고 조절자와 호환되는 강력한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 데프레이션 연속법은 아크길이 연속법과 데프레이션 기법을 조합한 것으로, 기존의 해를 제거하기 위해 비선형 잔여항을 수정한다.
• 브랜치의 각 매개변수 값에서 알고리즘은 뉴턴 시스템에 데프레이션을 적용하여 이미 발견된 해로의 수렴을 방지한다.
• 데프레이션은 뉴턴 반복에 유리형 보정 항을 도입하여 기존의 해에 가까워지는 것을 방지하는 방식으로 구현된다.
• 이 방법은 증가된 시스템이나 고유분해를 피하기 위해 원래의 비선형 시스템과 그 데프레이션 변형을 풀기만 하면 된다.
• 다중수렴의 수렴성은 데프레이션 하에서 뉴턴 방법의 행동에 기반한 충분조건을 사용하여 분석된다.
• 알고리즘은 주요 브랜치를 따라 반복적으로 적용되며, 데프레이션 단계를 통해 고정된 매개변수 값에서 새로운 분리된 브랜치를 발견할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분기점 탐지에 의존하지 않고도 분리된 분기 브랜치를 발견할 수 있는 연속 방법이 존재하는가?
• RQ2 기존의 해가 존재하는 조건에서, 뉴턴 방법을 어떻게 수정하여 동일한 초기 추정치로부터 여러 해로 수렴시킬 수 있는가?
• RQ3 분기 문제에서 데프레이션 하에서 뉴턴 방법의 다중수렴을 보장하는 충분조건은 무엇인가?
• RQ4 짝수중복도 고유값 교차로 인해 스위칭 연속법이 놓친 브랜치를 데프레이션 연속법이 복원할 수 있는가?
• RQ5 효율적인 조절자가 제공되는 경우, 데프레이션 연속법은 대규모 PDE 이산화 문제에 대해 확장 가능한가?

주요 결과

• 데프레이션 연속법은 미틀만 문제의 전체 분기 다이어그램을 성공적으로 복원하였으며, 비정상적 고유값으로 인해 스위칭 연속법이 놓친 브랜치까지 포함하여 복원하였다.
• 그림 4.6의 파란 사각형 브랜치를 발견하였으며, 이는 λ ≈ 0.2724에서 이중 피치프록트 분기점이 발생하는 곳으로, 스위칭 연속법이 짝수중복도로 인해 실패하는 지점이다.
• 데프레이션 연속법은 뉴턴 라인저의 행렬식이나 영공간을 계산할 필요가 없어, 스위칭 연속법의 계산 비용과 실패 요인을 피한다.
• 고정된 뉴턴 수렴 조건과 102회의 반복을 사용하여, 1600개 요소로 구성된 유한요소 이산화 문제에서 알고리즘이 안정적으로 수렴하였다.
• 이 방법은 연결된 분기 다이어그램뿐 아니라 분리된 분기 다이어그램 모두에 효과적이며, 대칭성에 기인한 비정상성으로 인해 스위칭 연속법이 실패하는 경우에도 유용하다.
• 확장 가능한 조절자가 제공되는 경우, 데프레이션 연속법은 초고성능 컴퓨터에서 대규모 PDE 문제에 적합하며, 원래의 뉴턴 시스템과 데프레이션 변형 시스템만을 풀면 된다.