[논문 리뷰] The computation of Kostka Numbers and Littlewood-Richardson Coefficients is #P-complete

Hariharan Narayanan|ArXiv.org|2005. 01. 12.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Kostka 수와 Littlewood-Richardson 계수의 계산이 #P-완전하다는 것을 증명하며, #P가 P에 포함되지 않는 한 이러한 문제에 대해 다항시간 알고리즘이 존재하지 않음을 확립한다. 증명은 Knuth의 대응을 통해 2×k의 연대수표를 계산하는 #P-완전 문제를 Kostka 수로 감소시키고, 그 다음 표준 표와 LR 비틀린 표 사이의 표 bijection을 사용하여 Kostka 수를 Littlewood-Richardson 계수로 감소시킨다.

ABSTRACT

Kostka numbers and Littlewood-Richardson coefficients play an essential role in the representation theory of the symmetric groups and the special linear groups. There has been a significant amount of interest in their computation. The issue of their computational complexity has been a question of folklore, but was asked explicitly by E. Rassart. We prove that the computation of either quantity is #P-complete. The reduction to computing Kostka numbers, is from the #P-complete problem of counting the number of 2 x k contingency tables having given row and column sums. The main ingredient in this reduction is a correspondence discovered by D. E. Knuth. The reduction to the problem of computing Littlewood-Richardson coefficients is from that of computing Kostka numbers.

연구 동기 및 목표

• Kostka 수와 Littlewood-Richardson 계수의 계산 복잡도에 대한 오랫동안 미해결된 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이 조합적 불변량의 계산이 #P-완전하다는 것을 보여주어, P = NP가 아닐 경우 효율적인 정확한 알고리즘이 존재하지 않음을 시사하기 위해.
• Knuth의 대응을 사용하여 주어진 행과 열의 합을 갖는 2×k 연대수표의 수를 세는 #P-완전 문제에서 Kostka 수로의 공식적인 감소를 제공하기 위해.
• 표와 LR 비틀린 표 사이의 표 bijection을 통해 Kostka 수에서 Littlewood-Richardson 계수로의 감소를 확장하기 위해.
• 표현 이론과 대수적 조합론에서 이러한 계수의 복잡도 상태를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 주어진 행과 열의 합을 갖는 2×k 연대수표의 수를 세는 #P-완전 문제에서 Kostka 수 계산으로의 감소.
• 연대수표와 특정 내용을 갖는 표의 쌍 사이의 Knuth의 대응 적용.
• 형태 λ와 내용 μ를 갖는 표와 형태 λ*α, 내용 ν를 갖는 LR 비틀린 표 사이의 표 bijection 구축 (여기서 α는 특정한 분할이다).
• 해당 LR 비틀린 표의 수가 Littlewood-Richardson 계수 c^ν_{λα}와 같다는 사실의 활용.
• 감소가 입력 크기 상에서 다항시간 내에 유지되고 카운트를 유지함을 증명.
• 감소의 전이성에 기반하여 Kostka 수와 Littlewood-Richardson 계수 모두에 대해 #P-완전성 확립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kostka 수 K_λμ의 계산은 #P-완전인가?
• RQ2 특히 두 행만을 갖는 형태와 같은 제한된 경우에서도 Littlewood-Richardson 계수의 계산은 #P-완전인가?
• RQ3 2×k 연대수표의 수를 세는 문제는 Kostka 수로 다항시간 내에 감소될 수 있는가?
• RQ4 내용과 형태를 유지하는 조건에서 표와 LR 비틀린 표 사이의 다항시간 이분법적 대응이 존재하는가?
• RQ5 이 계수들의 #P-완전성은 완전 다항시간 무작위 근사계열(FPRAS)의 존재를 배제하는가?

주요 결과

• Kostka 수 K_λμ의 계산은 2×k 연대수표 수를 세는 문제에서의 다항시간 감소를 통해 #P-완전하다.
• Littlewood-Richardson 계수 c^ν_{λα}의 계산은 λ가 두 행만을 갖는 경우에도 #P-완전하다.
• 형태 λ와 내용 μ를 갖는 표와 형태 λ*α, 내용 ν를 갖는 LR 비틀린 표 사이의 표 bijection이 존재한다. 여기서 α는 ℓ개의 행을 갖는 분할 (1,2,…,ℓ)이다.
• 이 bijection은 ν = μ + α일 때 K_λμ = c^ν_{λα}임을 증명하며, Kostka 수에서 Littlewood-Richardson 계수로의 감소를 확립한다.
• 감소는 다항시간 내로 계산 가능하며, 카운트를 유지하고, 두 문제 모두의 #P-완전성을 보장한다.
• 결과적으로 이러한 계수에 대해 알려진 FPRAS는 없지만, 그 존재는 추측된다.