[논문 리뷰] The Computational Advantage of MIP* Vanishes in the Presence of Noise

Yangjing Dong, Honghao Fu외 4명|arXiv (Cornell University)|2023. 12. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양자 다중검증자 상호작용 증명 체계(MIP*)에서 엔트로피가 공유된 EPR 상태에 노이즈가 도입되면 계산적 우월성이 상실됨을 보여준다. 임의로 작은 노이즈가 존재하는 동안에도 복잡도 클래스는 RE(결정 불가능 문제)에서 NEXP로 붕괴되며, 이는 노이즈가 양자 얽힘이 이 모델에서 가지는 힘을 완전히 파괴함을 보여준다. 이 결과는 날카로운 임계점을 설정한다: 노이즈는 MIP*의 우월성을 제거하지만, 노이즈 없는 얽힘은 그것을 유지한다.

ABSTRACT

Quantum multiprover interactive proof systems with entanglement MIP* are much more powerful than its classical counterpart MIP (Babai et al. '91, Ji et al. '20): while MIP = NEXP, the quantum class MIP* is equal to RE, a class including the halting problem. This is because the provers in MIP* can share unbounded quantum entanglement. However, recent works of Qin and Yao '21 and '23 have shown that this advantage is significantly reduced if the provers' shared state contains noise. This paper attempts to exactly characterize the effect of noise on the computational power of quantum multiprover interactive proof systems. We investigate the quantum two-prover one-round interactive system MIP*[poly, O(1)], where the verifier sends polynomially many bits to the provers and the provers send back constantly many bits. We show noise completely destroys the computational advantage given by shared entanglement in this model. Specifically, we show that if the provers are allowed to share arbitrarily many noisy EPR states, where each EPR state is affected by an arbitrarily small constant amount of noise, the resulting complexity class is equivalent to NEXP = MIP. This improves significantly on the previous best-known bound of NEEEXP (nondeterministic triply exponential time) by Qin and Yao '21. We also show that this collapse in power is due to the noise, rather than the O(1) answer size, by showing that allowing for noiseless EPR states gives the class the full power of RE = MIP*[poly, poly]. Along the way, we develop two technical tools of independent interest. First, we give a new, deterministic tester for the positivity of an exponentially large matrix, provided it has a low-degree Fourier decomposition in terms of Pauli matrices. Secondly, we develop a new invariance principle for smooth matrix functions having bounded third-order Fréchet derivatives or which are Lipschitz continous.

연구 동기 및 목표

• 양자 다중검증자 상호작용 증명 체계에서의 노이즈가 계산적 능력에 미치는 영향을 정확히 규명하는 것.
• MIP*[poly, O(1)] 모델에서 현실적인 노이즈 조건 하에서 MIP*의 양자 우월성이 견고한지 여부를 판단하는 것.
• MIP*가 NEXP로 붕괴되는 원인이 O(1) 답변 크기인지, 노이즈인지를 규명하는 것.
• 노이즈가 있는 비국소 게임 분석에 활용할 수 있는 새로운 분석 도구—특히 저차수 행렬에 대한 양성 테스터와 행렬 함수에 대한 불변성 원리—를 개발하는 것.

제안 방법

• 파울리 행렬에서 저차수 푸리에 분해를 가지는 지수적으로 큰 행렬의 양성에 대해 결정론적이고 저복잡도의 테스터를 개발하였다.
• 세계적 차수의 프레셰 도함수나 리프시츠 연속성으로 유계된 부드러운 행렬 함수에 대한 새로운 불변성 원리를 도입하였다.
• 노이즈 하에서 양자 상관관계를 의사난수성으로 시뮬레이션하기 위해 유도된 불변성 원리를 적용하였다.
• 비국소 게임에서 답변 크기를 줄이기 위해 헤이드라드 코드를 사용하여 타당성을 유지하면서도 답변 크기를 최소화하였다.
• 오라클화, 병렬 반복, 반복적 답변 축소를 조합하여 O(1) 답변 크기와 다항 시간 복잡도(poly(n))를 가지는 프로토콜을 구축하였다.
• 상수 노이즈 비율을 가지는 노이즈가 있는 EPR 상태는 MIP*[poly, O(1)]를 NEXP로 붕괴시키며, 노이즈 없는 EPR 상태는 MIP*의 전반적 능력을 유지함을 증명하였다 (즉, RE).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공유된 EPR 상태에 임의로 작은 노이즈가 존재할 경우 MIP*의 양자 우월성이 사라지는가?
• RQ2 MIP*가 NEXP로 붕괴되는 원인이 MIP*[poly, O(1)] 모델에서의 O(1) 답변 크기 제약인지, 노이즈인가?
• RQ3 저차수 파울리 분해를 가지는 지수적으로 큰 행렬에 대해 결정론적 양성 테스터를 구성할 수 있는가?
• RQ4 노이즈와 의사난수 샘플링 하에서 부드러운 행렬 함수의 거동을 지배하는 불변성 원리는 무엇인가?
• RQ5 답변 축소 기법을 강화하여 노이즈가 있는 MIP* 프로토콜에서 O(1) 답변 크기와 다항 시간 복잡도(poly(n))를 동시에 유지할 수 있는가?

주요 결과

• EPR 상태의 노이즈—심지어 임의로 작은 상수 노이즈라도—MIP*의 양자 우월성을 완전히 파괴하며, 복잡도 클래스는 NEXP로 붕괴된다.
• 노이즈가 있는 EPR 상태를 가진 MIP*[poly, O(1)] 모델은 MIP = NEXP 와 동치이며, 이는 이전의 상한 NEEEXP 보다 향상된 결과이다.
• 노이즈 없는 EPR 상태는 MIP*의 전반적 능력을 유지하며, RE = MIP*[poly, poly] 를 달성함으로써 노이즈가 붕괴의 핵심 원인임을 확인하였다 (즉, 답변 크기의 영향이 아님).
• 저차수 푸리에 분해를 가지는 행렬에 대해 다항 시간 복잡도 내에서 작동하는 새로운 결정론적 양성 테스터를 개발하였다.
• 세계적 차수의 프레셰 도함수나 리프시츠 연속성이 유계된 행렬 함수에 대한 새로운 불변성 원리를 확립하였으며, 이는 노이즈 하에서도 견고한 분석을 가능하게 하였다.
• 헤이드라드 코드와 오라클화를 활용한 반복적 답변 축소를 통해, 노이즈가 존재하는 상황에서도 O(1) 답변 크기, 다항 시간 질문 크기, 다항 시간 복잡도를 가지는 프로토콜을 실현하였다.