[논문 리뷰] The Computational Complexity of Integer Programming with Alternations

Danny Nguyen, Igor Pak|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 변수 수가 고정되어 있을 때조차도 세 번의 교차하는 양자화자(∃x∀y∃z)를 가진 정수계획법이 NP-완전임을 증명한다. 이는 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한 것이다. 저자들은 이 결과를 NP-완전인 양호한 동시 근사(Good Simultaneous Approximation, GSA) 문제로의 환원을 통해 증명하며, 또한 두 개의 3차원 폴리토프의 차집합(Q\P)의 정수점 수를 세는 것이 #P-완전임을 추가로 보여준다. 이는 바르비노크와 우즈의 볼록집합의 사영에 대한 다항시간 결과와 대조된다.

ABSTRACT

We prove that integer programming with three alternating quantifiers is NP-complete, even for a fixed number of variables. This complements earlier results by Lenstra and Kannan, which together say that integer programming with at most two alternating quantifiers can be done in polynomial time for a fixed number of variables. As a byproduct of the proof, we show that for two polytopes P, Q in R^4, counting the projection of integer points in Q\P is #P-complete. This contrasts the 2003 result by Barvinok and Woods, which allows counting in polynomial time the projection of integer points in P and Q separately.

연구 동기 및 목표

• 1992년 칸난의 정수계획법에서 세 번의 교차 양자화자를 가진 문제의 다항시간 결정 가능성에 관한 질문을 해결하기 위해.
• 고정된 차원에서 세 번의 교차 양자화자를 가진 정수계획법의 계산 복잡도를 규명하기 위해.
• 비볼록 집합, 특히 3차원 폴리토프 Q\P의 사영에서 정수점의 수를 세는 복잡도를 분석하기 위해.
• 바르비노크-우즈의 볼록 폴리토프 사영의 다항시간 처리 가능성과 그들의 여집합의 사영의 비처리 가능성 사이의 대비를 위해.

제안 방법

• NP-완전인 양호한 동시 근사(Good Simultaneous Approximation, GSA) 문제로의 환원을 통해 3번의 교차 양자화자를 가진 정수계획법의 NP-완전성을 증명하기 위해.
• 피보나치 수를 기반으로 한 기하학적 구성법을 사용하여 수론적 제약 조건을 다각형 체계에 인코딩하기 위해.
• 두 번의 양자화자 경우에서 불등식 수가 많은 체계를 유한한 부분문제로 줄이기 위해 도이그노프–벨–스카르 정리를 사용하기 위해.
• 두 번의 양자화자 경우에서 부분문제의 합성과 전칭 양자화자 간의 교환 법칙이 성립하지만, 세 번의 양자화자 경우에서는 성립하지 않아 환원이 깨진다는 것을 증명하기 위해.
• Q\P가 어려운 계산 문제를 인코딩하는 3차원에서의 폴리토프를 구성하기 위해.
• 포화 원리와 볼록 위치 논증을 사용하여 사영 복잡도 결과의 차원 경계의 날카로움을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 차원에서 세 번의 교차 양자화자를 가진 정수계획법은 다항시간에 결정 가능한가?
• RQ2 두 3차원 폴리토프 Q와 P의 차집합 Q\P의 사영에서 정수점의 수를 다항시간에 세는 것이 가능한가?
• RQ3 프레스버거 공식에서 논리합(disjunction)의 존재가 순수한 부등식 체계에 비해 정수계획법에서 계산적 이점을 제공하는가?
• RQ4 고정된 차원에서 집합의 여집합에 대한 사영 복잡도는 유지되는가?
• RQ5 짧은 생성함수로 Q\P와 같은 비볼록 집합의 사영을 효율적으로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 세 번의 교차 양자화자(∃x∀y∃z)를 가진 정수계획법은 변수 수가 고정되어 있을지라도 NP-완전이다.
• 3차원 폴리토프 Q와 P에 대해 Q\P의 수직 사영에서 정수점의 수를 세는 것은 #P-완전이다.
• P가 간격이고 Q가 직사각형인 경우에도 NP-완전성 결과가 유지되며, 이는 저차원 환경에서도 딱딱한 문제가 지속됨을 시사한다.
• 불등식 수가 유계가 아니더라도 변수 수가 고정되어 있을 경우 문제의 NP-완전성은 그대로 유지된다.
• 볼록 폴리토프 Q와 P의 여집합(Q\P)은 어려운 계산 문제를 인코딩할 수 있으며, 이로 인해 사영이 계산적으로 처리 불가능해진다. 이는 P와 Q가 볼록임에도 불구하고 성립한다.
• 이 결과는 바르비노크-우즈의 볼록 폴리토프 사영에 대한 다항시간 알고리즘이 그들의 여집합으로 확장될 수 없다는 것을 보여준다.