[논문 리뷰] The Computational Complexity of the Restricted Isometry Property, the Nullspace Property, and Related Concepts in Compressed Sensing

Andreas M. Tillmann, Marc E. Pfetsch|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 09.

Sparse and Compressive Sensing Techniques인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 주어진 행렬에 대한 제약 이sovolution 상수(RIC)와 영공간 상수(NSC)를 계산하는 것이 NP-난해임을 입증하며, 압축 측정 분야에서 오랫동안 제기된 추측을 확인한다. 저자들은 행렬의 스파크를 계산하는 것이 NP-난해임을 증명하여 핵심 희소 복원 조건의 비가역성의 기초를 마련하고, RIP 및 NSP 상수의 정확한 계산이 P = NP가 아닐 경우 의사다항시간 내에 수행될 수 없음을 보여준다.

ABSTRACT

This paper deals with the computational complexity of conditions which guarantee that the NP-hard problem of finding the sparsest solution to an underdetermined linear system can be solved by efficient algorithms. In the literature, several such conditions have been introduced. The most well-known ones are the mutual coherence, the restricted isometry property (RIP), and the nullspace property (NSP). While evaluating the mutual coherence of a given matrix is easy, it has been suspected for some time that evaluating RIP and NSP is computationally intractable in general. We confirm these conjectures by showing that for a given matrix A and positive integer k, computing the best constants for which the RIP or NSP hold is, in general, NP-hard. These results are based on the fact that determining the spark of a matrix is NP-hard, which is also established in this paper. Furthermore, we also give several complexity statements about problems related to the above concepts.

연구 동기 및 목표

• 제약 이sovolution 상수(RIC)와 영공간 상수(NSC)를 계산하는 것이 계산적으로 비가역적이라는 오랫동안 제기된 추측을 해결하기 위해.
• ℓ₁-최소화를 통한 정확한 희소 복원을 보장하는 기본 조건인 RIP, NSP, 스파크의 계산 복잡도를 규명하기 위해.
• 행렬이 주어진 상수 이하의 RIC 또는 NSP를 만족하는지 확인하는 것이 coNP-완전 문제임을 보여주기 위해.
• 행렬의 스파크를 계산하는 것이 NP-난해임을 보여주어 RIC 및 NSC의 난이도에 대한 기초 결과를 제공하기 위해.
• 정확한 복원 상수 계산 대신 근사 알고리즘과 히우리스틱을 사용할 이론적 근거를 제공하기 위해.

제안 방법

• 스파크 계산 문제를 제약 이sovolution 상수(RIC) 계산 문제로 감소시켜 RIC 계산의 NP-난해성을 증명한다.
• 정확한 커버 문제에서의 감소를 통해 행렬의 스파크 ≤ k인지 여부를 판단하는 것이 NP-완전임을 보여준다.
• 영공간 성질(NSP)이 상수 αₖ < 1로 성립하는지 여부를 검증하는 것이 coNP-완전임을 증명하며, 이는 NSC 계산의 NP-난해성으로 이어진다.
• RIC이 k에 대해 단조 증가함을 활용하여 NSC 계산을 위한 샌드위치 절차를 설계하지만, 브루트 포스보다 개선되지 않을 수 있음을 고려한다.
• 복잡도 이론적 논증을 적용하여 P = NP가 아닐 경우 어떤 의사다항시간 알고리즘도 RIC을 계산할 수 없음을 보여준다.
• 상호 간섭도, 스파크, RIC 간의 기존 상한을 활용하여 효율적으로 계산 가능한 대체 방법의 한계를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 행렬과 희소성 수준 k에 대해 제약 이sovolution 상수(RIC)를 계산하는 것은 계산적으로 어렵다?
• RQ2 행렬이 상수 αₖ < 1로 영공간 성질(NSP)을 만족하는지 여부를 검증하는 것은 coNP-완전 문제인가?
• RQ3 행렬의 스파크, 즉 선형적으로 종속된 열의 최소 개수를 결정하는 것은 NP-난해 문제인가?
• RQ4 RIC 또는 NSC는 의사다항시간 내에 계산될 수 있으며, 그 복잡도 이론적 함의는 무엇인가?
• RQ5 RIC 또는 NSC를 상수 요인 내에서 근사하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇이며, 강력한 근사 불가능성 결과가 존재할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 행렬 A와 정수 k에 대해 제약 이sovolution 상수 δ̲ₖ를 계산하는 것은 NP-난해하다.
• 영공간 성질(NSP)이 상수 αₖ < 1로 성립하는지 여부를 검증하는 것은 coNP-완전하며, 이는 NSC 계산의 NP-난해성을 암시한다.
• 행렬의 스파크—선형적으로 종속된 열의 최소 개수—는 계산하기에 NP-난해하다.
• P = NP가 아닐 경우 어떤 의사다항시간 알고리즘도 RIC δ̲ₖ를 계산할 수 없다.
• 결과적으로 정확한 계산이 일반적으로 비가능하므로 RIC 및 NSC에 대한 근사 알고리즘과 히우리스틱의 사용에 이론적 정당성을 제공한다.
• 이러한 난이도 결과는 유리수 행렬에 대해서도 성립하며, 고정된 상수 γ < 1에 대해서는 복잡도가 여전히 열려 있으나, 현재 결과는 이미 이론적 보장을 위해 충분히 강력하다.