[논문 리뷰] The Computational Complexity of the Traveling Salesman Problem

Craig Alan Feinstein|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 17.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 결정론적 정확 알고리즘의 최악의 경우 실행 시간에 대해 Θ(2^n)의 하한을 확립하여 고전적 컴퓨터에서 TSP(최소 이동 거리 순회 문제)가 다항 시간 내에 해결될 수 없음을 증명한다. TSP 부분 문제의 재귀적 동적 계획법 공식화를 통해 모든 2^n개의 도시 부분집합이 평가되어야 한다는 점을 보여주며, 더 빠른 정확한 해법이 존재하지 않음을 확인한다.

ABSTRACT

In this note, we show that the Traveling Salesman Problem cannot be solved in polynomial-time on a classical computer.

연구 동기 및 목표

• 결정론적 정확 알고리즘을 사용하여 TSP를 해결하는 데 필요한 시간 복잡도에 대한 이론적 하한을 설정하는 것.
• 부분 문제의 재귀적 구조를 분석하여 고전적 알고리즘이 TSP를 다항 시간 내에 해결할 수 없음을 보여주는 것.
• 1962년에 발표된, Θ*(2^n) 시간 복잡도를 가지는 최고의 알고리즘이 결정론적 정확 계산에서 점근적으로 최적임을 확인하는 것.
• TSP를 상태 함수 Δ(S,i)를 사용하여 동적 계획법 문제로 공식화하는 것. 여기서 Δ(S,i)는 집합 S에 포함된 모든 도시를 방문하고 도시 i에서 끝나는 최단 경로를 나타낸다.
• Δ(S,i)의 재귀적 계산이 단순화될 수 없음을 보여주며, 이는 모든 2^n개의 도시 부분집합을 평가해야 한다는 것을 의미한다.

제안 방법

• Δ(S,i)를 도시 집합 S⊆{2,…,n}을 모두 방문하고 도시 1에서 출발하여 도시 i에서 끝나는 최소 거리로 정의한다.
• 기저 사례 Δ({i},i) = δ(1,i)를 포함한 점화식 Δ(S,i) = min{Δ(S−{i},j) + δ(j,i)} (j ∈ S−{i})를 사용한다.
• Δ(S,i)의 재귀 공식이 단순화될 수 없음을 보이며, {2,…,n}의 공집합이 아닌 모든 부분집합 S에 대해 계산이 필요하다는 것을 입증한다.
• Δ({2,…,n},n)을 계산하는 데는 Θ(2^n)개의 서로 다른 부분집합과 도시에 대한 Δ(S,i) 평가가 필요하며, 이는 Θ(2^n)의 하한을 이끌어낸다.
• 유도된 하한을 1962년에 발표된 알고리즘(Held-Karp)과 비교하여, Θ*(2^n)의 시간 복잡도를 달성함으로써 점근적 최적성 확인.
• δ(i,j)의 대칭성과 양의 정의성, 정확한 해를 요구하는 조건을 이용하여 더 빠른 결정론적 알고리즘의 존재를 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 컴퓨터에서 TSP는 다항 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ2 결정론적 정확 알고리즘으로 TSP를 해결할 수 있는 최소한의 최악의 경우 시간 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 1962년에 발표된 Held-Karp 알고리즘(Θ*(2^n) 시간)은 정확한 TSP 해결에서 점근적으로 최적인가?
• RQ4 TSP 부분 문제의 재귀적 공식화인 Δ(S,i)는 Θ(2^n) 이하의 시간 복잡도로 줄일 수 있는가?
• RQ5 TSP 부분 문제 공간의 구조는 본질적으로 정확하게 해결하기 위해 지수 시간이 필요한가?

주요 결과

• 고전적 컴퓨터에서 TSP는 다항 시간 내에 해결될 수 없다.
• TSP를 위한 모든 결정론적 정확 알고리즘은 최악의 경우 Ω(2^n)의 시간이 필요하다.
• TSP 부분 문제 Δ(S,i)의 재귀적 동적 계획법 공식화는 단순화될 수 없으며, 이는 Θ(2^n)개의 부분집합을 모두 평가해야 한다는 것을 의미한다.
• 1962년에 발표된 가장 빠른 결정론적 정확 알고리즘은 시간 복잡도가 Θ*(2^n)이며, 유도된 하한과 일치한다.
• 모든 도시 부분집합에 대한 계산이 필요로 하는 문제의 본질적 구조는 기본적인 지수 하한을 설정한다.
• 결과적으로 결정론적 고전적 계산을 가정할 때 TSP는 P에 속하지 않으며, NP-난이도 성격을 더욱 강화한다.