[논문 리뷰] The Concepts and Applications of Fractional Order Differential Calculus in Modelling of Viscoelastic Systems: A primer

Mohammad M. Amirian, Yousef Jamali|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 20.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 생물학적 시스템을 포함한 재료의 점탄성 거동을 모델링하는 데 분수계 미분법을 적용하는 가이드를 제시하며, 분수계 모델이 형태 기억 효과와 같은 복잡한 기계적 반응을 정확하게 포착할 수 있음을 보여준다. 실험 데이터에 대한 피팅에서 분수계 모델이 표준 선형 모델보다 뛰어난 성능을 보이며, 연성 물질과 생물 조직의 점탄성 특성 분석에 더 정밀한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

Viscoelasticity and related phenomena are of great importance in the study of mechanical properties of material especially, biological materials. Certain materials show some complex effects in mechanical tests, which cannot be described by standard linear equation (SLE) mostly owing to shape memory effect during deformation. Recently, researchers have been applying fractional calculus in order for probing viscoelasticity of such materials with a high precision. Fractional calculus is a powerful tool for modeling complex phenomenon. In this tutorial based paper, we try present clear descriptions of the fractional calculus, its techniques and its implementation. The intention is to keep the details to a minimum while still conveying a good idea of what and how can be done with this powerful tool. We try to expose the reader to the basic techniques that are used to solve the fractional equations analytically and/or numerically. More specifically, modeling the shape memory phenomena with this powerful tool are studied from different perspectives, as well as presented some physical interpretation in this case. Moreover, in order to show the relationship between fractional models and standard linear equations, a fractal system comprising spring and damper elements is considered, and the constitutive equation is approximated with a fractional element. Finally, after a brief literature review, two fractional models are utilized to investigate the viscoelasticity of the cell, and the comparison is made among them, experimental data, and previous models. Verification results indicate that not only does the fractional model match the experimental data well, but it also can be a good substitute for previously used models.

연구 동기 및 목표

• 생물물리학 및 연성 물질 분야의 연구자들에게 분수계 미분법을 명확하고 접근하기 쉽게 소개하는 것.
• 분수계 미분방정식이 전통적인 모델보다 더 정확하게 점탄성 현상, 특히 형태 기억 효과를 모델링할 수 있음을 보여주는 것.
• 점탄성 시스템에서 분수계 미분법과 전통적인 스프링-다스퍼 모델 간의 연결 고리를 구축하는 것.
• 세포의 점탄성에 대한 실험 데이터를 바탕으로 분수계 모델을 검증하고, 표준 선형 모델 및 이전 모델과 비교하는 것.
• 분수계 미분법이 연성 및 생물학적 재료에서 복잡한 기계적 거동을 모델링하는 데 강력한 도구로 널리 쓰일 수 있도록 장려하는 것.

제안 방법

• 분수계 미분법의 수학적 기초를 소개하며, 리만-리우빌 및 카프토 정의에 기반한 분수계 미분의 정의를 포함한다.
• 분수계 요소(예: 스프링-포트)를 사용하여 분수계 구성 방정식을 적용함으로써, 고전적 스프링과 다스퍼를 일반화한 점탄성 거동을 모델링한다.
• 스프링과 다스퍼의 분수형 배열로 구성된 프랙탈 시스템의 구성 방정식을 유도하며, 이가 분수계 미분방정식과 동치임을 보여준다.
• 해석적 및 수치적 기법을 사용하여 점탄성 응력 회복 및 크리프 반응에 관련된 분수계 미분방정식을 해결한다.
• 세포 기계학에서 실험 데이터에 대해 두 가지 분수계 모델—특히 분수계 제너 모델과 분수계 맥스웰 모델—을 비교한다.
• 실험 점탄성 데이터에 분수계 모델을 피팅하고, 표준 선형 모델과의 적합도 평가를 통해 모델의 유효성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계 미분법을 사용하여 고전적 정수계 모델보다 더 정밀하게 점탄성 거동을 모델링할 수 있는가?
• RQ2 점탄성 시스템에서 분수계 요소(예: 스프링-포트)의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ3 스프링과 다스퍼의 프랙탈 배열에서 유도된 분수계 모델은 표준 선형 모델과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ4 분수계 모델은 생물학적 재료에서 관찰되는 형태 기억 및 시간에 따라 변화하는 기계적 거동을 정확하게 기술할 수 있는가?
• RQ5 이전에 사용된 표준 선형 모델과 비교해 분수계 모델은 실험 점탄성 데이터에 대해 얼마나 잘 피팅되는가?

주요 결과

• 분수계 모델은 표준 선형 모델보다 세포의 실험 점탄성 데이터에 더 뛰어난 피팅 성능을 보였다.
• 분수계 제너 모델과 분수계 맥스웰 모델은 생물 조직에서 관찰되는 복잡한 응력 회복 및 크리프 거동을 효과적으로 포착했다.
• 스프링-포트 요소는 분수계 점탄성 요소를 나타내며, 고전적 스프링과 다스퍼의 거동을 성공적으로 일반화했다.
• 스프링과 다스퍼의 프랙탈 배열은 구성 방정식으로 이어지며, 이는 분수계 미분방정식으로 단순화되며, 미세구조와 거시적 거동 간의 연결 고리를 제공한다.
• 연구는 분수계 미분법이 변형 하에서 재료의 형태 기억 효과를 더 정확하게 표현할 수 있음을 입증했다.
• 검증 결과, 분수계 모델은 단지 더 정확할 뿐 아니라 전통적 모델의 실용적인 대체 수단으로도 유효함을 확인했다.