[논문 리뷰] The conductivity measure for the Anderson model

Abel Klein, Peter Müller|arXiv (Cornell University)|2007. 09. 21.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 20인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 제로 온도에서 앤더슨 타이트-바인드 모델의 ac-전도도에 대해 엄밀한 수학적 프레임워크를 수립하며, 임의의 페르미 에너지 𝜇에 대해 전도도 측도 Σ₀ᵘ(𝑑ν)를 정의한다. 이는 르베그 거의 모든 𝜇에 대해 유한 온도 전도도 측도 Σₜᵘ(𝑑ν)가 제로 온도 극한으로 약한 수렴함을 증명함으로써, T=0에서 선형 반응 전류 공식이 전도도 측도를 통해 정당화됨을 보여준다.

ABSTRACT

We study the ac-conductivity in linear response theory for the Anderson tight-binding model. We define the electrical ac-conductivity and calculate the linear-response current at zero temperature for arbitrary Fermi energy. In particular, the Fermi energy may lie in a spectral region where extended states are believed to exist.

연구 동기 및 목표

• 임의의 페르미 에너지 𝜇를 가진 앤더슨 모델에서 제로 온도의 ac-전도도 측도 Σ₀ᵘ(𝑑ν)를 정의하기.
• 유한 온도 전도도 측도 Σₜᵘ(𝑑ν)가 르베그 거의 모든 𝜇에 대해 Σ₀ᵘ(𝑑ν)로 약한 수렴함을 증명함으로써, T=0에서의 선형 반응 전류 공식을 정당화하기.
• 이전에 T>0에서 수립된 전도도 측도의 수학적 프레임워크를, 특히 이전 유도에서 실패했던 확장 상태 영역에서 제로 온도 경우로 확장하기.
• 확장 상태가 존재하는 영역에서도 유효한, 제로 온도 영역에서의 in-phase 선형 반응 전류에 대한 엄밀한 기초 제공하기.

제안 방법

• 전도도 측도 Σₜᵘ(𝑑ν)는 ℝ 위의 유한한 양의 짝수 Borel 측도로 정의되며, 외부 전기장에 대한 주파수 의존 응답을 나타낸다.
• in-phase 선형 반응 전류는 전도도 측도의 푸리에 변환을 통해 표현된다: 𝐽ₗᵢₙⁱⁿ(𝑡;𝜇,𝑇,𝐸) = ∫ℝ Σₜᵘ(𝑑𝜈) 𝑒ⁱⁿᵗ 𝐸̂(𝜈).
• 제로 온도 전도도 측도 Σ₀ᵘ(𝑑ν)는 르베그 거의 모든 페르미 에너지 𝜇 ∈ ℝ에 대해 lim_{𝑇↓0} Σₜᵘ(𝑑ν)의 약한 극한으로 정의된다.
• T=0에서의 선형 반응 전류는 유한 온도 전류의 점별 극한으로 정의된다: 𝐽ₗᵢₙⁱⁿ(𝑡;𝜇,0,𝐸) = lim_{𝑇↓0} 𝐽ₗᵢₙⁱⁿ(𝑡;𝜇,𝑇,𝐸).
• 유도에는 측도 가능하고 공변하는 연산자 이론과 에르고딕 랜덤 슈뢰딩거 연산자 맥락에서의 리우빌리안 형식주의가 기초가 된다.
• 약한 수렴의 증명은 앤더슨 해밀토니안의 스펙트럼 성질과 완전한 국소화 영역에 기반하며, 그린 함수의 지수적 감쇠가 측도 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 페르미 에너지가 확장 상태 영역에 있을 경우, 앤더슨 모델에서 제로 온도에서 ac-전도도를 엄밀히 정의할 수 있는가?
• RQ2 유한 온도 전도도 측도 Σₜᵘ(𝑑ν)가 𝑇↓0일 때 거의 모든 페르미 에너지 𝜇에 대해 약한 수렴하는가?
• RQ3 T=0에서의 in-phase 선형 반응 전류는 유한 온도 전류 공식의 극한으로 잘 정의되는가?
• RQ4 국소화가 없을 경우, 특히 확장 상태가 존재할 경우 전도도 측도는 T=0에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 국소화나 스펙트럼 갭을 가정하지 않고도 전도도 측도 프레임워크를 T=0로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 제로 온도 전도도 측도 Σ₀ᵘ(𝑑ν)는 르베그 거의 모든 페르미 에너지 𝜇 ∈ ℝ에 대해 유한 온도 측도 Σₜᵘ(𝑑ν)의 𝑇↓0 극한으로서 약한 극한으로 엄밀히 정의된다.
• T=0에서의 in-phase 선형 반응 전류는 유한 온도 전류의 극한을 통해 잘 정의되며, Σ₀ᵘ(𝑑ν)의 푸리에 변환을 포함하는 동일한 적분 공식으로 주어진다.
• Σₜᵘ(𝑑ν) → Σ₀ᵘ(𝑑ν) 수렴은 르베그 거의 모든 𝜇에 대해 약하게 성립하여 제로 온도 극한의 수학적 일관성을 보장한다.
• 이 결과는 확장 상태가 존재하는 스펙트럼 영역에서도 전도도 측도 형식주의를 제로 온도 영역에서 사용할 수 있음을 정당화한다. 이는 이전의 유도에서 실패했던 영역에서도 유효하다.
• 이 프레임워크는 국소화가 존재하지 않는 영역을 포함하여 임의의 페르미 에너지에 대해 유효하므로, 선형 반응 이론의 적용 범위를 넓힌다.
• 증명은 완전한 국소화 영역에 기반하며, 그린 함수의 지수적 감쇠가 측도 수렴을 보장한다.