[논문 리뷰] The congruence subgroup property for the hyperelliptic modular group

Marco Boggi|arXiv (Cornell University)|2008. 03. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $n \geq 1$ 인 경우 초타원형 모듈라 군 $H_{g,n}$ 에 대해 합동부분군 성질을 확인한다. 이는 $H_{g,n}$ 의 모든 유한지수 부분군이 표면의 기본군의 유한지수 특성부분군에 대한 몫에 대한 자연스러운 표현의 핵을 포함한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Let ${\cal M}_{g,n}$ and ${\cal H}_{g,n}$, for $2g-2+n>0$, be, respectively, the moduli stack of $n$-pointed, genus $g$ smooth curves and its closed substack consisting of hyperelliptic curves. Their topological fundamental groups can be identified, respectively, with $\Gamma_{g,n}$ and $H_{g,n}$, the so called Teichm{u}ller modular group and hyperelliptic modular group. A choice of base point on ${\cal H}_{g,n}$ defines a monomorphism $H_{g,n}\hookrightarrow\Gamma_{g,n}$. Let $S_{g,n}$ be a compact Riemann surface of genus $g$ with $n$ points removed. The Teichmuller group $\Gamma_{g,n}$ is the group of isotopy classes of diffeomorphisms of the surface $S_{g,n}$ which preserve the orientation and a given order of the punctures. As a subgroup of $\Gamma_{g,n}$, the hyperelliptic modular group then admits a natural faithful representation $H_{g,n}\hookrightarrow\operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n}))$. The congruence subgroup problem for $H_{g,n}$ asks whether, for any given finite index subgroup $H^\lambda$ of $H_{g,n}$, there exists a finite index characteristic subgroup $K$ of $\pi_1(S_{g,n})$ such that the kernel of the induced representation $H_{g,n} o\operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n})/K)$ is contained in $H^\lambda$. The main result of the paper is an affirmative answer to this question for $n\geq 1$.

연구 동기 및 목표

• 초타원형 모듈라 군 $H_{g,n}$ 가 합동부분군 성질을 만족하는지 조사한다.
• 모든 $H_{g,n}$ 의 유한지수 부분군이 $\pi_1(S_{g,n})$ 의 유한지수 특성부분군에 대한 몫에 대한 표현의 핵으로서 나타나는지 확인한다.
• 외부자기동형군 표현을 통해 $H_{g,n}$ 의 유한지수 부분군과 $\pi_1(S_{g,n})$ 의 몫 사이의 구조적 연결 고리를 확립한다.
• 전체 테이히뮐러 모듈라 군으로부터의 합동부분군 문제를 초타원형 부분군으로 확장한다.

제안 방법

• 자연스러운 단사형 사상 $H_{g,n} \hookrightarrow \Gamma_{g,n}$ 를 이용하여 $H_{g,n}$ 를 테이히뮐러 모듈라 군의 부분군으로 식별한다.
• 표면의 기본군에 대한 작용에 의해 유도되는 충실한 표현 $H_{g,n} \hookrightarrow \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n}))$ 를 활용한다.
• $\pi_1(S_{g,n})$ 의 유한지수 특성부분군 $K$ 에 대해 유도된 표현 $H_{g,n} \to \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n})/K)$ 를 분석한다.
• 모든 유한지수 부분군 $H^\lambda \leq H_{g,n}$ 가 적절한 $K$ 에 대해 이러한 표현의 핵을 포함함을 보이기 위해 군론적 기법을 적용한다.
• 모듈리 스택 $\mathcal{H}_{g,n}$ 과 그 기본군 $H_{g,n}$ 의 위상수학적 및 산술적 구조를 이용한다.
• 기본군이 아벨이 아니고 자명하지 않게 하기 위해 표면이 충분히 비퇴화되어야 하므로 조건 $2g - 2 + n > 0$ 을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초타원형 모듈라 군 $H_{g,n}$ 의 모든 유한지수 부분군이 $\pi_1(S_{g,n})$ 의 유한지수 특성부분군 $K$ 에 대해 표현 $H_{g,n} \to \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n})/K)$ 의 핵을 포함하는가?
• RQ2 조건 $n \geq 1$ 에서 $H_{g,n}$ 가 합동부분군 성질을 만족하는가?
• RQ3 $H_{g,n}$ 이 $\Gamma_{g,n}$ 의 부분군으로서의 구조가 그 합동부분군 행동에 어떻게 影響을 미치는가?
• RQ4 외부자기동형군 작용을 통해 $H_{g,n}$ 의 유한지수 부분군과 $\pi_1(S_{g,n})$ 의 몫 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 조건 $n \geq 1$ 에서 초타원형 모듈라 군 $H_{g,n}$ 에 대해 합동부분군 성질이 성립함을 확인하여 주요 추측을 지지한다.
• 모든 유한지수 부분군 $H^\lambda \leq H_{g,n}$ 에 대해, $\ker(H_{g,n} \to \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n})/K)) \leq H^\lambda$ 를 만족하는 $\pi_1(S_{g,n})$ 의 유한지수 특성부분군 $K \trianglelefteq \pi_1(S_{g,n})$ 가 존재한다.
• 표현 $H_{g,n} \to \operatorname{Out}(\pi_1(S_{g,n}))$ 는 충실하므로, 외부자기동형군 몫을 통해 유한지수 부분군을 탐지할 수 있다.
• 이 결과는 기본군 $\pi_1(S_{g,n})$ 의 산술과 $H_{g,n}$ 의 부분군 구조 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다.
• 조건 $2g - 2 + n > 0$ 은 표면이 일반형이 되게 하여 기본군이 아벨이 아니고 적절하게 비자명하게 만들며, 합동부분군 분석에 적합하다.
• 증명은 특히 $n \geq 1$ 인 경우에 대해 모듈리 스택 $\mathcal{H}_{g,n}$ 과 그 기본군 $H_{g,n}$ 의 위상수학적 및 기하학적 성질에 의존한다.