[논문 리뷰] The conjugacy growth of the soluble Baumslag-Solitar groups

Laura Ciobanu, Alex Evetts외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 14.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $k \geq 2$ 인 가해성 있는 Baumslag-Solitar 군 $BS(1,k)$ 에서 지오데식 공轭 대표원의 완전한 기술을 제공하고, 그들의 공轭 성장 시리즈를 명시적으로 계산하며, 이 시리즈가 초월적임을 증명한다. 또한 이러한 군들에서 공轭 성장률과 표준 성장률이 일치함을 입증하여, 비-유한 아벨 군에 대한 널리 퍼진 추측을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper we give asymptotics for the conjugacy growth of the soluble Baumslag-Solitar groups $BS(1,k)$, $k\geq 2$, with respect to the standard generating set, by providing a complete description of geodesic conjugacy representatives. We show that the conjugacy growth series for these groups are transcendental, and give formulas for the series. As a result of our computation we also establish that in each $BS(1,k)$ the conjugacy and standard growth rates are equal.

연구 동기 및 목표

• 가해성 있는 Baumslag-Solitar 군 $BS(1,k)$ ($k \geq 2$) 에서 공轭 성장 함수의 점근적 행동을 규명하는 것.
• 표준 생성집합 $\{a,t\}$ 에 대해 $BS(1,k)$ 내의 지오데식 공轭 대표원의 완전한 특성화를 제공하는 것.
• 공轭 성장 시리즈를 명시적으로 계산하고, 그 초월성의 성립을 입증하는 것.
• $BS(1,k)$ 에서 공轭 성장률과 표준 성장률이 동일함을 확인하여, 유한 생성 군에서의 성장에 대한 보다 광범위한 추측을 지지하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $BS(1,k) \cong \mathbb{Z}_k \rtimes \mathbb{Z}$ 의 정규형을 사용하여 지오데식 공轭 대표원을 분류한다.
• 그들은 정규 아벨 부분군 $\mathbb{Z}_k$ 내부의 공轭류와 외부의 공轭류로 분해하고, 각 부분을 별도로 분석한다.
• 특히 $\mathbb{Z}_k$ 외부의 원소들에 대해 기호 조합론의 사이클 구성 기법을 적용하여 순환 순열에 대해 대표원을 세는 데 사용한다.
• 생성 함수는 $\mathcal{S}(z)$ 가 대표원 집합의 생성 함수일 때, $\sum_{k=1}^\infty \frac{-\phi(k)}{k} \log(1 - \mathcal{S}(z^k))$ 의 로그 공식을 이용해 유도된다.
• 공轭 성장 시리즈는 $\mathbb{Z}_k$ 와 외부 공轭류의 시리즈를 합하고, 정규형에서 중복 계산된 원소들을 빼내어 구성된다.
• 시리즈의 초월성은 점근적 분석을 통해 $c(n) \sim \alpha^n / n$ ($\alpha > 1$) 라는 형태로 입증되며, 이는 비대수성의 결과를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 생성집합에 대해 $BS(1,k)$ 의 공轭류 수의 정확한 점근적 성장률은 무엇인가?
• RQ2 $BS(1,k)$ 의 공轭 성장 시리즈는 초월적인가? 만약 그렇다면, 그 닫힌 형태의 표현식은 무엇인가?
• RQ3 $BS(1,k)$ 에서 공轭 성장률과 표준 성장률은 일치하는가? 이는 모든 생성집합에 대해 성립하는가?
• RQ4 $BS(1,k)$ 의 공轭 성장 시리즈는 지오데식 대표원에 대한 조합론적 방법으로 완전히 기술될 수 있는가?
• RQ5 $BS(1,k)$ 에서 공轭 성장 시리즈의 초월성은 오직 유한 아벨 군일 때만 유리수 성장 시리즈를 갖는다는 추측을 지지하는가?

주요 결과

• $BS(1,k)$ 의 표준 생성집합 $\{a,t\}$ 에 대한 공轭 성장 시리즈는 점근적 성장 $c(n) \sim \alpha^n / n$ ($\alpha > 1$) 를 통해 초월적임이 입증되었다.
• $BS(1,k)$ 에서 공轭 성장률과 표준 성장률은 동일하며, 생성 함수의 분모의 주요 근과 군의 성장률을 비교하여 확인되었다.
• 홀수 $k = 2r+1$ 인 경우, $\mathbb{Z}_k$ 외부의 공轭류에 대한 생성함수는 $Cyc(\mathcal{A}_o)(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{-\phi(k)}{k} \log(1 - \mathcal{S}_o(z^k))$ 로 주어지며, 여기서 $\mathcal{S}_o(z)$ 는 길이 $(r+1)$ 인 단어의 집합의 생성함수이다.
• 짝수 $k = 2r$ 인 경우, 생성함수는 $Cyc(\mathcal{A}_e)(z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{-\phi(k)}{k} \log(1 - \mathcal{S}_e(z^k))$ 로 주어지며, $\mathcal{S}_e(z)$ 는 제약 조건이 있는 대표원 집합에 대해 정의된다.
• $BS(1,k)$ 의 전체 공轭 성장 시리즈는 $\mathbb{Z}_k$ 와 외부 클래스의 시리즈를 합하고, 정규형에서 중복 계산된 원소들을 빼내어 얻어진다.
• 결과적으로 $BS(1,k)$ 는 액실린드릭으로 하이퍼볼릭이 아니지만, 하이퍼볼릭 및 액실린드릭으로 하이퍼볼릭 군들과 유사한 공轭 성장 점근적 행동을 보이며, 성장 시리즈에 대한 보다 광범위한 추측을 지지한다.