[논문 리뷰] The Consistency of a Bounded, Self-Adjoint Time Operator Canonically Conjugate to a Hamiltonian with Non-empty Point Spectrum

Eric A. Galapon|arXiv (Cornell University)|1999. 08. 11.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 4인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 파울리의 정리에 도전하며, 비어 있지 않은 점 스펙트럼을 가진 해밀토니안(예: 무한대나 반무한대 또는 유한한 가산 스펙트럼)과 켤레된 유계이고 자기수반인 시간 연산자가 일관되게 존재할 수 있음을 엄밀하게 보여준다. 이는 유니타리 진동 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ 가 해밀토니안의 고유값 차이에 해당하는 $ \beta $ 값에서만 정의되므로, 파울리의 원래 가정에서 발생하는 모순을 피함으로써 이루어진다.

ABSTRACT

Pauli's well known theorem (W. Pauli, Hanbuch der Physik vol. 5/1, ed. S. Flugge, (1926) p.60) asserts that the existence of a self-adjoint time operator canonically conjugate to a given Hamiltonian implies that the time operator and the Hamitlonian posses completely continuous spectra spanning the entire real line. Thus the conclusion that there exists no self-adjoint time operator conjugate to a Hamiltonian with a spectrum which is a proper subspace of the real line. But we challenge this conclusion. We show rigourously the consitency of assuming a bounded, self-adjoint time operator conjugate to a Hamiltonian with an unbounded, or semibounded, or finitely countable point spectrum. Pauli implicitly assumed unconditionally that the domain of the Hamiltonian is invariant under the action of $U_\\beta=\\exp(-i\\beta T)$, where $T$ is the time operator, for arbitrary real number $\\betaA$. But we show that the $\\beta$'s are at most the differences of the eigenvalues of the Hamiltonian. And this happens, under some other conditions, when the Hamiltonian has a non-empty point spectrum extending from negative to positive infinity. For a Hamiltonian with a simibounded or finitely countable point spectrum, we show that no $U_\\beta$. We demonstrate our claim by giving an explicit example.

연구 동기 및 목표

• 해밀토니안의 스펙트럼이 실수 전체가 아닐 경우, 자기수반인 시간 연산자가 존재할 수 없다는 파울리의 정리의 광범위하게 받아들여지는 결론을 도전하기 위해.
• 파울리의 정리와 점 스펙트럼을 가진 해밀토니안과 켤레된 시간 연산자가 필요한 물리 모델 사이의 명백한 모순을 해결하기 위해.
• 파울리의 증명에서 도메인 불변성 가정이 해밀토니안의 비어 있지 않은 점 스펙트럼을 가질 경우에 대해 잘못되었음을 보여주기 위해.
• 무한대나 반무한대 스펙트럼을 가진 해밀토니안과 일관되게 작용하는 유계이고 자기수반인 시간 연산자의 명시적 예를 제시하기 위해.
• 유니타리 군 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ 의 유효 범위를 명확히 하여, 이가 고유값 차이에 해당하는 $ \beta $ 값에 한해 정의됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 유계 자기수반 시간 연산자에 대해 켤레 관계 $ [T, H] = i\hbar $ 를 엄밀한 스펙트럼 이론 프레임워크로 재표현하기 위해.
• 유니타리 군 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ 를 분석하고, 이가 해밀토니안의 고유값 차이에 해당하는 $ \beta $ 값에서만 정의됨을 증명하기 위해.
• 스펙트럼 이론을 사용하여, 임의의 $ \beta $ 에 대해 $ U_\beta $ 가 해밀토니안의 도메인을 보존하지 않음을 보여주어, 파울리의 암묵적 가정을 반박하기 위해.
• 비어 있지 않은 점 스펙트럼을 가진 해밀토니안과 유계 자기수반 시간 연산자가 켤레 관계를 만족하는 명시적 예를 구성하기 위해.
• 반무한대 또는 유한한 가산 스펙트럼을 가진 해밀토니안의 경우, 고유값 차이에 해당하는 $ \beta $ 값 이외에는 비자명한 $ U_\beta $ 가 존재하지 않음을 보여주기 위해.
• 기능적 해석과 스펙트럼 측도를 적용하여, $ U_\beta $ 가 힐베르트 공간 위에서 어떻게 정의되고, 켤레 관계를 어떻게 충족하는지 엄밀히 확인하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비어 있지 않은 점 스펙트럼을 가진 해밀토니안과 켤레된 유계 자기수반 시간 연산자가 일관되게 존재할 수 있는가?
• RQ2 시간 연산자 $ T $ 에 대해 유니타리 군 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ 가 잘 정의되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 해밀토니안의 스펙트럼이 이산적일 경우 파울리의 정리가 실패하는가? 만약 그렇다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ4 해밀토니안의 도메인에서 대칭으로서 $ U_\beta $ 가 작용할 수 있는 $ \beta $ 값의 최대 집합은 무엇인가?
• RQ5 무한대나 반무한대 스펙트럼을 가진 해밀토니안과 켤레된 유계 시간 연산자가 존재하는 명시적 모델을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 비어 있지 않은 점 스펙트럼(무한대나 반무한대 스펙트럼 포함)을 가진 해밀토니안과 켤레된 유계 자기수반 시간 연산자가 일관되게 존재할 수 있다.
• 유니타리 군 $ U_\beta = \exp(-i\beta T) $ 는 고유값 차이에 해당하는 $ \beta $ 값에서만 정의되며, 임의의 실수 $ \beta $ 에서는 정의되지 않는다.
• 파울리의 원래 결론은 잘못된 가정에 기반한다: 즉, $ U_\beta $ 가 모든 실수 $ \beta $ 에 대해 해밀토니안의 도메인을 보존한다고 가정한 것이며, 이는 스펙트럼이 이산적일 경우 실패한다.
• 유한한 가산 또는 반무한대 점 스펙트럼을 가진 해밀토니안의 경우, 고유값 차이에 해당하는 $ \beta $ 값 이외에는 비자명한 $ U_\beta $ 가 존재하지 않는다.
• canonical commutation relation $ [T, H] = i\hbar $ 가 성립하고, $ T $ 는 유계이고 자기수반인 명시적 예가 구성되었다.
• 시간 연산자의 스펙트럼 측도는 유계 구간에만 지지되어 있으며, 이는 $ T $ 가 유계임과 일관되며, 해밀토니안은 여전히 무한대까지 연장된 스펙트럼을 가질 수 있다.