[논문 리뷰] The construction of a general inner product in non-Hermitian quantum theory and some explanation for the nonuniqueness of the C operator in PT quantum mechanics

Frieder Kleefeld|ArXiv.org|2009. 06. 04.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 2인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비헤르미트리언 해밀토니안의 왼쪽 및 오른쪽 고유벡터의 임의의 정규화로부터 기인하는 PT 대칭 양자역학에서 𝒞 연산자의 비유일성 문제를 해결한다. 고유벡터의 정규화를 신중히 선택함으로써, 메트릭 연산자—따라서 𝒞 연산자—를 해밀토니안 매개변수에 영향을 받지 않도록 고유하게 만들 수 있으며, 특히 2×2 PT 대칭 행렬 모형에서 그러한 성질을 확보할 수 있다.

ABSTRACT

Most recently it has been observed e.g. by Bender and Klevansky (arXiv:0905.4673 [hep-th]) that the C-operator related to a PT-symmetric non-Hermitian Hamilton operator is not unique. Moreover it has been remarked by Shi and Sun (arXiv:0905.1771 [hep-th]) very recently that there seems to exist a well defined inner product in the context of the Hamilton operator of the PT-symmetric non-Hermitian Lee model yielding a different C-operator as compared to the one previously derived by Bender et al.. The puzzling observations of both manuscripts are reconciled and explained in the present manuscript as follows: the actual form of the metric operator (and the induced C-operator) related to some non-Hermitian Hamilton operator constructed along the lines of Shi and Su depends on the chosen normalization of the left and right eigenvectors of the Hamilton operator under consideration and is therefore ambiguous. For a specific PT-symmetric 2x2-matrix Hamilton operator it is shown that - by a suitable choice of the norm of its eigenvectors - the metric operator yielding a positive semi-definite inner product can be made even independent of the parameters of the considered Hamilton operator. This surprising feature makes in turn the obtained metric operator rather unique and attractive. For later convenience the metric operator for the Bosonic and Fermionic (anti)causal harmonic oscillator is derived.

연구 동기 및 목표

• 벤더, 클레반스키, 시-선이 보고한 바와 같이, PT 대칭 양자역학에서 𝒞 연산자의 관측된 비유일성을 해결하기 위해.
• 비헤르미트리언 해밀토니안의 왼쪽 및 오른쪽 고유벡터의 정규화 선택 자유도에 기인한 𝒞 연산자에 대한 모호성이 있음을 명확히 하기 위해.
• 2×2 PT 대칭 행렬 모형에서 특정 고유벡터 정규화 선택을 통해 고유하고 매개변수에 의존하지 않는 메트릭 연산자를 구성할 수 있음을 보여주기 위해.
• 메트릭 연산자와 양의 준정의 내적을 보스 및 페르미온 (역) causal 조화 진동자에 대해 유도함으로써, 장 이론적 응용을 위한 기초를 마련하기 위해.
• 일관되고 유니터리하며 인과적인 양자이론을, 준헤르미트리언 및 비헤르미트리언 해밀토니안을 기반으로 하여 잘 정의된 내적을 사용하여 구축하는 데에 기여하기 위해.

제안 방법

• 가짜헤르미트리언 양자역학의 프레임워크에 따라, 파리티 연산자의 제곱근과 유니터리 변환을 포함하는 유사변환을 통해 메트릭 연산자를 구성하기 위해.
• 비헤르미트리언 해밀토니안의 왼쪽 및 오른쪽 고유벡터를 메트릭 정의의 기저로 사용하며, 매개변수 의존성을 제거하기 위해 정규화를 선택함.
• 관계식 𝒞 = e^𝒬𝒫 를 적용하여 메트릭 연산자와 𝒞 연산자 간의 연결을 확보하고, 양의 준정의 내적을 보장함.
• 2×2 행렬 모형에서 파리티 연산자 𝒫 를 대각화하여 √𝒫 를 계산함으로써, 메트릭 연산자의 구성 가능성을 확보함.
• (역) causal 조화 진동자에 대해 메트릭 연산자와 내적을 유도하며, 클라인-고르던 및 디랙 장으로 일반화함.
• 이론의 물리적 일관성을 유지하기 위해, 이상을 최소화하고 물리적 대칭성을 보존하는 연산자 순서 선택을 통해 로렌츠 불변성과 재정규화 가능성 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PT 대칭 양자역학에서 𝒞 연산자가 비유일한 이유는 무엇이며, 이러한 모호성의 근본 원인은 무엇인가?
• RQ2 비헤르미트리언 해밀토니안의 왼쪽 및 오른쪽 고유벡터의 정규화를 고정시킴으로써 𝒞 연산자의 비유일성이 해결될 수 있는가?
• RQ3 적절한 고유벡터 정규화 선택을 통해 해밀토니안 매개변수에 의존하지 않는 메트릭 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ4 비헤르미트리언 해밀토니안에 대해 일관되고 양의 준정의 내적을 어떻게 정의할 수 있으며, 이는 유니터리 시간 진동을 지원하는가?
• RQ5 메트릭 및 𝒞 연산자 구성에서 연산자 순서와 이상의 역할은 무엇이며, 이는 이론의 물리적 일관성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 𝒞 연산자의 비유일성은 비헤르미트리언 해밀토니안의 왼쪽 및 오른쪽 고유벡터의 정규화 선택 자유도에 기인한다.
• 2×2 PT 대칭 행렬 해밀토니안의 경우, 특정 고유벡터 정규화가 해밀토니안 매개변수에 영향을 받지 않는 메트릭 연산자를 도출함.
• 이 매개변수에 의존하지 않는 메트릭 연산자는 고유하며, 내적 구성에서 임의의 선택을 제거하므로 물리적 응용에 매우 유리함.
• 보스 및 페르미온 (역) causal 조화 진동자에 대해 메트릭 연산자와 양의 준정의 내적을 명시적으로 유도함.
• 이 구성 방법은 장 이론으로 일반화되며, 비헤르미트리언 해밀토니안을 기반으로 한 인과적, 국소적, 유니터리 양자이론의 기초를 제공함.
• 결과는 로렌츠 불변성과 재정규화 가능성과 일관되며, 이상이 존재할 경우에도 메트릭 연산자의 선택과 관계없이 불변함.