[논문 리뷰] The continuous Anderson hamiltonian in dimension two

Romain Allez, Khalil Chouk|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 09.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 11인용 수 56

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 토러스 $\mathbb{T}^2$ 위에서 임의의 특이한 가우시안 화이트 노이즈 잠재력 $\xi$를 갖는 연속 앤더슨 해밀토니안 $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$의 엄밀한 구성법을 수립한다. 파라컨트롤된 분포를 사용하여, $\mathscr{H}$가 $L^2(\mathbb{T}^2)$ 위에서 잘 정의된 무한대의 자기수반 연산자로서 이산적인 실수 스펙트럼을 갖는다는 것을 증명한다. 또한, 재정규화된 매끄러운 근사값에 대해 해밀토니안의 해밀토니안 수렴이 성립함을 보이며, 큰 토러스 $\mathbb{T}_L^2$에서의 기본 상태 고유값에 대해 지수 꼬리 경계와 $\log L$ 주변의 크기 주기를 유도한다. 주요 기여는 2차원에서 특이한 연속 앤더슨 해밀토니안의 스펙트럼 이론을 파라컨트롤 계산을 통해 수립한 데 있다.

ABSTRACT

We define the Anderson hamiltonian on the two dimensional torus $\mathbb R^2/\mathbb Z^2$. This operator is formally defined as $\mathscr H:= -Δ+ ξ$ where $Δ$ is the Laplacian operator and where $ξ$ belongs to a general class of singular potential which includes the Gaussian white noise distribution. We use the notion of paracontrolled distribution as introduced by Gubinelli, Imkeller and Perkowski in [14]. We are able to define the Schrödinger operator $\mathscr H$ as an unbounded self-adjoint operator on $L^2(\mathbb T^2)$ and we prove that its real spectrum is discrete with no accumulation points for a general class of singular potential $ξ$. We also establish that the spectrum is a continuous function of a sort of enhancement $Ξ(ξ)$ of the potential $ξ$. As an application, we prove that a correctly renormalized smooth approximations $\mathscr H_\varepsilon:= -Δ+ ξ_\varepsilon+c_\varepsilon$ (where $ξ_\varepsilon$ is a smooth mollification of the Gaussian white noise $ξ$ and $c_\varepsilon$ an explicit diverging renormalization constant) converge in the sense of the resolvent towards the singular operator $\mathscr H$. In the case of a Gaussian white noise $ξ$, we obtain exponential tail bounds for the minimal eigenvalue (sometimes called ground state) of the operator $\mathscr H$ as well as its order of magnitude $\log L$ when the operator is considered on a large box $\mathbb T_L:= \mathbb R^2/(L\mathbb Z)^2$ with $L o \infty$.

연구 동기 및 목표

• 특이한 가우시안 화이트 노이즈 잠재력 $\xi$에 대해 두 차원 토러스 $\mathbb{T}^2$ 위에서 앤더슨 해밀토니안 $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$를 정의한다.
• $\mathscr{H}$가 $L^2(\mathbb{T}^2)$ 위에서 잘 정의된 무한대의 자기수반 연산자로서 이산적인 실수 스펙트럼을 갖는다는 것을 확립한다.
• $\mathscr{H}$의 스펙트럼이 잠재력 $\xi$의 재정규화된 강화 $\Xi(\xi)$에 대해 연속적으로 의존한다는 것을 증명한다.
• 재정규화된 매끄러운 근사값 $\mathscr{H}_\varepsilon = -\Delta + \xi_\varepsilon + c_\varepsilon$의 해밀토니안이 $\varepsilon \to 0$일 때 특이한 연산자 $\mathscr{H}$의 해밀토니안으로 수렴함을 보인다.

제안 방법

• 2차원에서 고전적 방법이 실패하는 화이트 노이즈 잠재력 $\xi$의 특이성을 다루기 위해 파라컨트롤된 분포를 사용한다.
• 불규칙성이 있는 $\xi$에도 불구하고 잘 정의된 상태를 보장하기 위해, 파라컨트롤된 분포의 공간 위에서 슈뢰딩거 연산자 $\mathscr{H}$를 정의한다.
• 비선형 상호작용을 제어하기 위해 보니의 파라프로덕트 분해와 베소프 공간 추정치를 적용한다.
• 매끄러운 근사값 $\xi_\varepsilon$의 발산을 상쇄하기 위해 발산하는 상수 $c_\varepsilon$를 포함하는 재정규화 절차를 도입한다. 이를 통해 수렴이 가능해진다.
• 리플리히-콘드라코프 컴팩트 임bedding 정리를 적용하여 스펙트럼의 이산성과 소볼레프 공간 내에서의 수렴성을 확립한다.
• 교환자 추정치와 파라컨트롤 계산을 사용하여 곱 $X \circ \sigma(D)X$와 그 $\mathscr{C}^{2\alpha+2}$ 공간에서의 수렴성, 즉 $-V^2$로의 수렴을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이한 가우시안 화이트 노이즈 분포 $\xi$에 대해, 두 차원에서 $L^2(\mathbb{T}^2)$ 위에서 앤더슨 해밀토니안 $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$가 잘 정의된 무한대의 자기수반 연산자로 정의될 수 있는가?
• RQ2 2차원에서 $\xi$의 특이성에도 불구하고 $\mathscr{H}$의 스펙트럼은 이산적인가?
• RQ3 재정규화된 매끄러운 근사값 $\mathscr{H}_\varepsilon$의 해밀토니안이 $\varepsilon \to 0$일 때 $\mathscr{H}$의 해밀토니안으로 수렴하는가?
• RQ4 큰 토러스 $\mathbb{T}_L^2$에서의 앤더슨 해밀토니안 $\mathscr{H}$의 최소 고유값(기본 상태)의 점 渐진적 행동은 무엇인가? $L \to \infty$일 때 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 특이 잠재력 $\xi$의 일반적인 클래스(가우시안 화이트 노이즈 포함)에 대해, 연속 앤더슨 해밀토니안 $\mathscr{H} = -\Delta + \xi$는 $L^2(\mathbb{T}^2)$ 위에서 잘 정의된 무한대의 자기수반 연산자로 정의된다.
• $\mathscr{H}$의 스펙트럼은 이산적이며, 임의의 집적점이 없으며, 이는 $\xi$가 분포이면서 $\Delta$가 무한대임에도 불구하고 성립한다.
• $\mathscr{H}$의 스펙트럼은 잠재력 $\xi$의 재정규화된 강화 $\Xi(\xi)$에 대해 연속적으로 의존하므로, 소규모 변화에 대해 안정성이 보장된다.
• 재정규화된 매끄러운 근사값 $\mathscr{H}_\varepsilon = -\Delta + \xi_\varepsilon + c_\varepsilon$의 해밀토니안이 $\varepsilon \to 0$일 때 $\mathscr{H}$의 해밀토니안으로 수렴하며, $c_\varepsilon$는 명시적으로 결정된다.
• 가우시안 화이트 노이즈의 경우, $\mathbb{T}_L^2$에서의 최소 고유값 $\lambda_1(L)$은 $L \to \infty$일 때 $\lambda_1(L) \sim \log L$로 수렴하며, 그 변동에 대해 지수 꼬리 경계가 존재한다.
• 파라컨트롤된 분포의 공간은 2차원에서 $\mathscr{H}$의 구성과 스펙트럼의 이산성 증명을 가능하게 하며, 이는 $\xi$의 거친 성질로 인해 고전적 방법이 실패하는 영역에서의 핵심 기여이다.