[논문 리뷰] The continuum limit of a tensor network: a path integral representation

Christoph Brockt, Jutho Haegeman외 3명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 19.

Quantum many-body systems참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 텐서 네트워크의 연속 극한으로서 연속 행렬 곱 상태(cMPS)에 대한 경로 적분 형식을 제안한다. 이는 이산적 텐서 결합을 보조 자유도에 대한 연속적 경로 적분으로 대체함으로써 이루어지며, 보조 시스템의 차원을 무한대로 갈 때 동적으로 진화한 양자장 상태와 Fock 공간의 모든 상태가 cMPS로 표현될 수 있음을 보여주어 cMPS 클래스의 완전성을 입증한다.

ABSTRACT

We argue that the natural way to generalise a tensor network variational class to a continuous quantum system is to use the Feynman path integral to implement a continuous tensor contraction. This approach is illustrated for the case of a recently introduced class of quantum field states known as continuous matrix-product states (cMPS). As an example of the utility of the path-integral representation we argue that the state of a dynamically evolving quantum field admits a natural representation as a cMPS. An argument that all states in Fock space admit a cMPS representation when the number of variational parameters tends to infinity is also provided.

연구 동기 및 목표

• 이산적 텐서 네트워크 변분 클래스를 연속적 양자 시스템으로 일반화하기 위해 연속 극한을 취하는 것.
• 연속 행렬 곱 상태(cMPS)에 대해 물리적으로 타당하고 수학적으로 일관된 경로 적분 표현을 수립하는 것.
• 보조 시스템의 차원이 무한대일 때 cMPS 클래스가 Fock 공간에서 완전함을 보여주는 것.
• 연속 텐서 네트워크의 고차원 일반화를 위한 프레임워크를 제공하는 것.
• 시간에 따라 진화한 양자장 상태가 자연스럽게 cMPS 표현을 갖는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 이산적 텐서 결합을 보조 자유도에 대한 연속적 결합으로 대체하기 위해 파이먼 경로 적분을 사용하는 것.
• 물리적 장이 최종 보조 시간에만 연결되는 보조 장의 코herent 상태에 대한 경로 적분으로 cMPS를 정의하는 것.
• 자유 보조 해밀토니안과 물리적 장이 β = T에서 보조 시스템과 결합하는 상호작용 항을 포함하는 복합 해밀토니안을 구성하는 것.
• 보조 장의 운동 에너지 항, 자유 해밀토니안, 그리고 최종 시간에서 물리적 장 연산자와 관련된 결합 항을 포함하는 경로 적분 작용을 유도하는 것.
• 코herent 상태 경로 적분과 항등식 분해를 사용하여 보조 장 구성을 함수적으로 통합한 cMPS 표현을 유도하는 것.
• 유도된 경로 적분이 자유 해밀토니안과 국소적 상호작용을 갖는 cMPS 표현을 제공함을 보여주며, 보조 온도수의 절단을 통해 효율적인 시뮬레이션을 가능하게 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산적 텐서 네트워크 형식은 어떻게 연속적 양자 시스템으로 체계적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 텐서 네트워크의 연속 극한은 보조 자유도에 대한 경로 적분으로 자연스럽게 기술될 수 있는가?
• RQ3 보조 시스템의 차원을 무한대로 갈 때 cMPS 클래스는 Fock 공간의 모든 상태를 완전히 표현할 수 있는가?
• RQ4 동적으로 진화한 양자장 상태는 자연스럽게 cMPS로 표현될 수 있는가?
• RQ5 cMPS 경로 적분 표현은 물리적 장과 보조 장을 포함하는 복합 시스템의 유니터리 진화로부터 유도될 수 있는가?

주요 결과

• cMPS 클래스는 보조 시스템의 코herent 장 상태에 대한 합으로서 경로 적분 표현을 갖으며, 이는 텐서 네트워크의 자연스러운 연속 극한을 제공한다.
• 경로 적분 형식은 물리적 장이 보조 시스템의 시간 진화의 유일한 최종 지점에만 연결됨을 보여주며, 국소성과 물리적 일관성을 보장한다.
• 시간 T에서 동적으로 진화한 양자장 상태는 특정 자유 해밀토니안과 상호작용 항을 갖는 cMPS로 표현될 수 있으며, 이는 클래스가 시간 진화에 적합함을 보여준다.
• 보조 시스템의 차원을 무한대로 갈 때 Fock 공간의 모든 상태가 cMPS로 표현될 수 있으며, 이는 cMPS 변분 클래스의 완전성을 입증한다.
• 단일 보조 온도수를 최종 시간에 결합함으로써 cMPS 표현은 완전히 양자적 보존 사상(Completely Positive Map)을 통해 효율적으로 시뮬레이션될 수 있으며, 실용적인 수치적 구현을 가능하게 한다.