[논문 리뷰] The Controlled-U and Unitary Transformation in Two-Qudit

Kunio Funahashi|ArXiv.org|2003. 04. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순열 및 헤르무드 유사 연산과 같은 기본 큐디트 게이트를 사용하여 제어-유니터리 게이트와 보편적인 두 큐디트 유니터리 변환을 구체적으로 구성한다. 대각화 및 제어-위상 연산을 통해 보편성을 입증한다. 이 방법은 상태별 위상 이동과 순열 게이트를 사용하여 큐비트 기반의 제어 연산을 큐디트로 확장하며, 큐비트에 비해 회로 깊이가 감소한 고차원 시스템에서 보편적인 양자 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We concretely construct an extension of the controlled-U gate in qudit from some elementary gates. We also construct unitary transformation in two-qudit by means of the extended controlled-U gate and show the universality of it.

연구 동기 및 목표

• 큐비트에서의 제어-유니터리 게이트를 기본 양자 게이트를 사용하여 큐디트로 체계적으로 확장하는 것.
• 모든 유니터리 변환이 합성될 수 있도록 보편적인 두 큐디트 유니터리 변환을 기본 연산으로 구성하는 것.
• 기존 연구의 격차를 메우기 위해 큐디트 시스템에서의 보편성에 대한 구체적이고 구성적인 증명을 제공하는 것.
• 큐디트 기반 양자 계산의 장점, 특히 회로 깊이 감소와 디코herence 완화 측면에서 탐구하는 것.

제안 방법

• 단일 큐디트 게이트인 순열 게이트 $P_{ab}$ 및 헤르무드 유사 게이트 $H_{ab}$를 사용하여 개별 큐디트 상태를 조작한다.
• 제어 큐디트가 상태 $|a\rangle$ 에 있을 때에만 대상 큐디트에 유니터리 $U$ 를 적용하는 제어 게이트 $\tilde{C}^a(U)$ 를 도입한다.
• 상태 $|a\rangle|b\rangle$ 에 위상 $e^{i\sigma(a,b)}$ 를 적용하는 제어-위상 게이트 $\tilde{X}(a,b)$ 를 구성한다.
• $\tilde{S}^{a}_b(\sigma(a,b))$ 라는 제어-스왑 연산을 통해 $\tilde{X}(a,b)$ 의 켤레 버전인 $\tilde{Z}(a,b)$ 를 정의하여 대각 유니터리 연산을 가능하게 한다.
• 모든 $\tilde{Z}(a,b)$ 게이트를 곱하여 $\tilde{U} = \prod_{a,b=0}^{d-1} \tilde{Z}(a,b)$ 를 구성함으로써 대각 유니터리 변환을 실현한다.
• 모든 두 큐디트 유니터리 변환이 이러한 제어 및 대각 연산을 사용하여 합성될 수 있음을 보여줌으로써 보편성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 게이트를 사용하여 큐비트에서의 제어-유니터리 게이트를 큐디트로 체계적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 기본 큐디트 연산으로부터 보편적인 두 큐디트 유니터리 변환을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 대각화 및 위상 게이트는 큐디트 시스템에서 보편성을 달성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 스케일러빌리티와 복잡성 측면에서 제안된 방법은 큐비트 기반 옐러 분해와 비교해 어떻게 다를까?
• RQ5 큐디트 기반 양자 계산은 디코herence 완화와 회로 깊이 감소 측면에서 어떤 물리적 장점이 있는가?

주요 결과

• 큐디트에서의 제어-유니터리 게이트는 순열 및 헤르무드 유사 게이트를 사용하여 성공적으로 구성되었으며, 큐비트의 경우를 일반화한다.
• 제어-위상 및 대각 게이트를 조합함으로써 보편적인 두 큐디트 유니터리 변환이 달성되었으며, 큐디트 프레임워크 내 보편성의 입증이 이루어졌다.
• 이 방법은 옐러 분해가 아닌 대각화에 기반하여 고차원 시스템에서 더 스케일러블한 접근법을 제공한다.
• 구성은 오직 $d(d-1)/2$ 개의 순열 게이트와 $d(d-1)/2$ 개의 헤르무드 유사 게이트만을 사용하며, 제어-위상 연산이 보편 게이트 세트의 핵심을 형성한다.
• 최종 보편 게이트 $\tilde{U}$ 는 기저 상태 $|\sigma(a,b)\rangle$ 에 대해 고유값 $e^{i\sigma(a,b)}$ 를 가지며, 대각 및 유니터리 성질을 확인한다.
• 다중 제어 게이트의 지수적 스케일링을 피하기 위해 단일 대상 제어 연산의 곱을 사용함으로써 물리적 구현 가능성 향상이 이루어졌다.