[논문 리뷰] The Convex Configurations of "Sei Shonagon Chie no Ita" and Other Dissection Puzzles

Eli Fox-Epstein, Ryuhei Uehara|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 08.

Genome Rearrangement Algorithms참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 동일한 이등변 직각삼각형으로 구성된 분할 퍼즐을 이용해 볼록 다각형 형성을 연구한다. Sei Shōnagon Chie no Ita가 16개의 볼록 다각형을 형성함을 증명하며, 톱넛의 13개를 초월하고, 7조각 퍼즐이 19개의 볼록 다각형을 형성함을 보여주며, 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로부터 형성 가능한 20개의 볼록 다각형을 모두 형성하기 위해 최소 11조각이 필요하고 충분함을 밝힌다.

ABSTRACT

The tangram and Sei Shonagon Chie no Ita are popular dissection puzzles consisting of seven pieces. Each puzzle can be formed by identifying edges from sixteen identical right isosceles triangles. It is known that the tangram can form 13 convex polygons. We show that Sei Shonagon Chie no Ita can form 16 convex polygons, propose a new puzzle that can form 19, no 7 piece puzzle can form 20, and 11 pieces are necessary and sufficient to form all 20 polygons formable by 16 identical isosceles right triangles. Finally, we examine the number of convex polygons formable by different quantities of these triangles.

연구 동기 및 목표

• 16개의 동일한 이등변 직각삼각형을 사용하는 Sei Shōnagon Chie no Ita 퍼즐이 형성할 수 있는 볼록 다각형의 수를 규명하는 것.
• Sei Shōnagon Chie no Ita와 톱넛이 볼록 도형을 형성하는 데 있어서의 표현 능력을 비교하는 것.
• 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로 구성된 최적의 7조각 분할 퍼즐을 설계하여 형성 가능한 볼록 다각형의 수를 최대화하는 것.
• 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로부터 형성 가능한 20개의 볼록 다각형을 모두 형성하기 위해 필요한 최소 조각 수를 규명하는 것.

제안 방법

• Wang과 Hsiung의 이전 연구를 바탕으로, 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로 형성 가능한 20개의 볼록 다각형을 모두 나열하기 위해 조합적 및 기하학적 분석을 사용했다.
• 정수 좌표 매핑에 제한을 두기 위해, 변의 정렬 조건(평행, 수직, 또는 일직선 상)을 적용하여 타당한 구성만을 제한했다.
• 조각의 크기 제약으로 인해 네 가지 특정한 얇은 사다리형 도형이 형성될 수 없음을 입증하기 위해 철저한 케이스 분석을 수행했다.
• 조각의 형태와 연결성을 최적화하여, 20개의 가능한 볼록 다각형 중 19개를 형성하는 새로운 7조각 퍼즐 구성법을 설계했다.
• 10개 이하의 조각으로 1×8√2 평행사변형과 2√2 변 길이의 정사각형을 동시에 커버할 수 없음을 보여, 전체 커버리지에 11개 조각이 필수적임을 증명했다.
• 컴퓨터 기반 검색을 통해 n개의 동일한 이등변 직각삼각형으로 형성 가능한 볼록 다각형의 수를 세는 함수 f(n)을 결정하고, 그 행동 양상을 분석했다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sei Shōnagon Chie no Ita 퍼즐이 형성할 수 있는 서로 다른 볼록 다각형의 수는 얼마인가요?
• RQ2 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로 구성된 7조각 분할 퍼즐이 톱넛보다 더 많은 볼록 다각형을 형성할 수 있나요?
• RQ3 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로 형성 가능한 20개의 볼록 다각형 중 19개를 형성할 수 있는 7조각 퍼즐을 구성하는 것이 가능한가요?
• RQ4 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로부터 형성 가능한 20개의 볼록 다각형을 모두 형성하기 위해 필요한 최소 조각 수는 얼마인가요?
• RQ5 형성 가능한 볼록 다각형의 수가 삼각형의 수에 따라 어떻게 증가하는가, 즉 f(n)의 행동 양상은 어떻게 되는가요?

주요 결과

• Sei Shōnagon Chie no Ita는 정확히 16개의 서로 다른 볼록 다각형을 형성할 수 있으며, 이는 톱넛의 13개를 초월한다.
• 새로운 7조각 퍼즐이 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로 형성 가능한 20개의 볼록 다각형 중 19개를 형성할 수 있음을 구성했다.
• 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로 구성된 7조각 분할 퍼즐은 20개의 볼록 다각형을 모두 형성할 수 없다.
• 16개의 동일한 이등변 직각삼각형으로부터 형성 가능한 20개의 볼록 다각형을 모두 형성하기 위해 11개의 조각이 필수적이고 충분하다.
• n개의 동일한 이등변 직각삼각형으로 형성 가능한 볼록 다각형의 수를 세는 함수 f(n)은 일반적으로 증가하며, f(16) = 20이다.
• 1×8√2 평행사변형과 2√2 변 길이의 정사각형은 강력한 제약 조건을 제공하며, 이는 10개 이하의 조각으로는 모든 20개의 도형을 동시에 커버할 수 없음을 증명한다.